Variabile casuale binomiale

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La variabile casuale (o aleatoria) binomiale è una variabile casuale discreta che viene usata in particolar modo per descrivere l'estrazione semplice (ovvero con riposizione).

Per afferrare rapidamente il concetto, consideriamo un esperimento con solo due tipi di risultati possibili (es: Successo - Non Successo) rispettivamente con probabilità p e q=1-p. Associamo ai due possibili risultati il numero 1 (successo) e il numero 0 (non successo). Ripetendo n volte l'esperimento in modo che le ripetizioni diano luogo a risultati stocasticamente indipendenti la somma delle realizzazioni 0,1 coinciderà con il numero di successi k. Tale numero è una nuova variabile casuale (o meglio aleatoria), somma di n variabili casuali bernoulliane stocasticamente indipendenti

La v.c. Binomiale è definita dalla seguente funzione di probabilità (pmf):

$P(X=k) = {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k}$

tale funzione esprime la probabilità della concomitanza di k successi (indipendentemente dall'ordine) che si alternano agli n - k insuccessi.

Il coefficiente binomiale:

${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (coefficienti binomiali)

esprime le distinguibili maniere in cui possono essere ripartiti i k successi negli n tentativi.

ed, ovviamente, per il binomio di Newton vale:

$\sum_{k=1}^{n} P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k} = [p+(1-p)]^n = 1$

k è un numero intero non negativo (k=0,1,2,3,...,n)

p è un valore compreso tra 0 e 1 esclusi (0<p<1)

per conseguenza, la funzione generatrice dei momenti è:

$g(t) = \left(1-p + p e^t \right)^n$

Il valore atteso μ e la varianza σ² sono

$\mu = P(X) = \sum_{k=1}^{n} k\cdot P(X=k) = n p$

$\sigma^2(X) = P(X^2)-P(X)^2 = n p \left( 1 - p \right)$

Gli indici di simmetria β₁ e curtosi β₂ sono

$\beta_1 = \frac{(q-p)^2}{npq}$

$\beta_2 = 3 + \frac{1-6pq}{npq}$

Se n è molto grande (orientativamente n>50) e p molto piccolo, tale che n p è, orientativamente, minore di 10 e p(1-p) quasi uguale a p, allora la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale poissoniana ove λ = n p.

Se n è molto grande, ma np>10 (e dunque non vale l'approssimazione con la poissoniana), allora la binomiale può essere approssimata con una variabile casuale normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N( np ; npq).

[modifica] La v.c. Beta e i priori coniugati della v.c. Binomiale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la binomiale e la variabile casuale Beta.

Se X è distribuita come una v.c. Binomiale con parametri n e π

f (x | π) = B i n o m (x | n;π)

e il parametro π è distribuito a priori come una variabile casuale Beta con i parametri a e b

g (π) = B e t a (π | a; b)

allora il parametro π è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x

g (π | x) = B e t a (π | a + x; b + n - x)

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibilii valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri x+1 e n-x+1

$g(\pi|x)=(n+1) {n \choose k} \pi^k (1-\pi)^{n+k}$