ケイリー・ハミルトンの定理

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ケイリー・ハミルトンの定理 (Cayley-Hamilton theorem) とは，正方行列 $A\,$ とその固有多項式（特性多項式） $f(x) = \det\left(xE-A\right)$ に対して， $f\left(A\right)=O$ が成り立つという定理のことである．ここで $E,\,O$ はそれぞれ単位行列と零行列を，また $\det M\,$ は正方行列 $M\,$ の行列式を表すものとする．

おもにケイリーの仕事であるが，ここにハミルトンの名が冠せられているのは 3次の場合に彼の詳しい研究があったからである．

[編集] 2次の場合の証明

2次の正方行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ に対して， $xE-A= \begin{pmatrix} x-a & -b \\ -c & x-d \\ \end{pmatrix}\;\;$ 　より，
$f(\,x)=\det(xE-A)=(x-a\,)(x-d\,)-bc$ 　を得る．

$f(A)=(A-aE)(A-dE)-bcE =\begin{pmatrix} 0 & -b \\ -c & d-a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a-d & -b \\ -c & 0 \\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} bc & 0 \\ 0 & bc \\ \end{pmatrix}$

から直接計算により， $f(\,A)=O$ が確かめられる．

[編集] 一般の場合の証明

$n\,$ 次正方行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ の固有多項式を $f(x)=\det\left(xE-A\right)$ とし，行列 $\,xE-A\,$ の余因子行列を $G(x)=\left(g_{ij}(x)\right)$ とおくとき， $f(x)E={}^tG(x)(xE-A)=x\,{}^tG(x)-{}^tG(x)A$ が成り立つ．この左辺の単位行列 $\;E\;$ の成分はクロネッカーのデルタで表せるから，この両辺の行列の第 $km\,$ 成分を比較して次の式を得る：

$f(x)\,\delta_{km}=x\,g_{mk}(x)-\sum_{l=1}^n g_{lk}(x)\,a_{lm}\quad (k,m=1,\ldots,n)\;\;\;.\qquad$

多項式 $f\left(x\right)$ および $g_{mk}(x)\;(k,m=1,\ldots,n)$ における $x\,$ に行列 $A\,$ を代入してできる行列 $f\left(A\right)$ および $g_{mk}\left(A\right)\;(k,m=1,\ldots,n)\;\;$ の第 $\,ij\,$ 成分をそれぞれ $w_{ij}\;$ および $h_{mkij}\;(k,m=1,\ldots,n)\;$ と書くことにする．このとき， $\delta_{km}\,f(A)=A\,g_{mk}(A)-\sum_{l=1}^n a_{lm}\,g_{lk}(A)\quad (k,m=1,\ldots,n)\;$ の両辺の行列の第 $\,ij\,$ 成分を比較して次の式を得る：