ルジャンドル変換

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ルジャンドル変換(るじゃんどるへんかん)とは、関数の引数を変えるために用いられる変換。解析力学や熱力学などで用いられる。

[編集] 定義と証明

ある関数 $F(x_1,x_2,\cdots ,x_N)$ があったときに、引数 $x_i(1\le i \le N)$ をyに変換することを考える。このとき、

$y=\frac{\partial F}{\partial x_i}$

と定義する。このとき、Fの微分dFを考えると、

$dF=\sum_{j=1}^N \frac{\partial F}{\partial x_j}dx_j$

である。ここで新しい関数 $G = F - x i y$ を定義する。すると、この微分は、

$\begin{align} dG &=dF-y\cdot dx_i-x_i\cdot dy\\ &= \sum_j\frac{\partial F}{\partial x_j}dx_j - \frac{\partial F}{\partial x_i}dx_i -x_i\cdot dy\\ &= \sum_{j (j\ne i)}\frac{\partial F}{\partial x_j}dx_j-x_i\cdot dy\\ \end{align}$

であるから、Gの引数ではx_iからyに変わっていることが分かる。

[編集] 応用例

[編集] 解析力学

解析力学では、ラグランジアンLをハミルトニアンHに変換する際に、ルジャンドル変換が用いられる。座標をqとしたときに正準運動量を $p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ として、

$H=\dot{q}p-L$

で定義する。これによって、 $L(q,\dot{q})$ から $H (q, p)$ になる。

[編集] 熱力学

熱力学では、内部エネルギー $U (S, V, N)$ をエンタルピー $H (S, p, N)$ 、ヘルムホルツの自由エネルギー $F (T, V, N)$ に、またそれらからギブスの自由エネルギー $G (T, p, N)$ に変換する際にルジャンドル変換が用いられる。

H = U + p V

F = U - T S

G = U + p V - T S

ここで、S:エントロピー、V:体積、N:粒子数、p:圧力、T:温度である。

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