十進記数法

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十進（位取り）記数法（じっしん-くらいどり-きすうほう）あるいは簡単に十進法（じっしんほう）は、十を基数とする位取り記数法である。世界中の多くの場所で使われている記数法であり、両手十本の指に因んでいると言われる。

十進法では、一桁に収められる数字は十個であり、0（零）から 9（九）までの十個を用いる。又、一桁に十個の数字を収め、十倍毎に桁を繰り上げる表記法を十進表記という。十進表記で記された数という意味で十進数という場合もある。十進表記では、桁を一回繰り上げる毎に、その数字の意味は十倍になる。

他の記数法においても、単位だけを基数に則って、桁を十進表記とする場合が多い。尚、0 から 9 までの文字は、インドで生み出された。

古代における十進法は、位取りの表記で五進法を補助的に使う事がある。例として、ローマ数字やそろばんに見られる方法である。この方法では、一から四までの一位数と、五位数から成り；一位数が五倍になると五位数が一倍となり、五位数と一位数の和を続けて、五位数が二倍（即ち、十）に至ると桁を繰り上げる。

[編集] 単位系

十の累乗数が用いられる単位は、概ね以下の通りである。

[編集] 表記上の問題点

十進法を「10進法」「base-10」と表記する事もあるが、これは「桁が十進法で表記されている」という前提に立ったものである。しかし、「10進法」の“10”という表記自体が位取りの基数に依存するもので、例えば 10 が二進法での表記ならば、「10進法」とは「二進法」という意味になってしまう。又、十二進表記の 10 は「十二」を意味し、二十進表記の 20 は「四十」の意味になってしまう。

つまり、“10”と書いては、その意味する所が曖昧になる。そこで、アラビア数字で表記せず、漢字やアルファベットで「十進法」「拾進法」「base-ten」と表記すべきであるという意見がある。（※この点は、他の記数法も同様である。）

[編集] 基数を変更した場合の桁数

コンピュータでの数値処理では、十進法でm桁の正の整数があった場合、それがr進法(例えば十六進法）では何桁必要になるかを知りたいことがよくある。

r進法で必要な桁数をn桁とすると、十進法でm桁の正の整数の最大値は10^m-1、r進法でn桁の正の整数の最大値はrⁿ-1となる。これらを等しいとおくと、

10^m-1=rⁿ-1

となる。（厳密にはm,nが桁数なので整数ということを考慮して、「=」より「 $\simeq$ 」が適切）

両辺に1を加算し、常用対数をとると、

log 1010 m = log 10 r n

、

m = n log 10 r

、

$n={m \over {\log_{10} r}}$

（nに小数点以下の端数がある場合は、切上げて整数値にする。）

カテゴリ: 数の表現 | 数学に関する記事

十進記数法

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目次

[編集] 単位系

[編集] 表記上の問題点

[編集] 基数を変更した場合の桁数

[編集] 関連項目

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