擬ベクトル

擬ベクトル(pseudo vector)は座標の反転に対し符号が変わらない（向きが反転する）ベクトル。

擬ベクトルのことを軸性ベクトルとも呼ぶ。反対に座標を反転して符号が反転する（向きが変わらない）ベクトルを極性ベクトルと呼ぶ。

[編集] 主な性質

空間反転とは空間座標の三成分の軸をすべて反対向きにすること。普通の極性ベクトルを A = (A_x, A_y, A_z) とすると、空間反転によって次のように変換される。

$(\mathbf{r}\to\mathbf{-r}):\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) \to \mathbf{A}'=(-A_x,-A_y,-A_z)$

変換してもベクトルの方向は同じだが、各成分の符号がかわる。これをパリティが負であるという。

ある極性ベクトルを B とし、A と B の外積を L とする。

$(\mathbf{r}\to\mathbf{-r}):\mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z) \to \mathbf{B'}=(-B_x,-B_y,-B_z)$

$\mathbf{L}=(L_x,L_y,L_z)=\mathbf{A}\times\mathbf{B}=(A_yB_z-B_yA_z,A_zB_x-B_zA_z,A_xB_y-B_xA_y)$

L は空間反転で L' = A' × B' になるとする。

$(\mathbf{r}\to\mathbf{-r}):\mathbf{L} \to \mathbf{L}'=\mathbf{A}' \times \mathbf{B}'$

$= (A_y B_z - B_y A_z, A_z B_x - B_z A_z, A_x B_y - B_x A_y) = (L_x, L_y, L_z) \,$

L は空間反転しても符号が変わらない。これをパリティが正であるという。空間反転で L は方向を変えてしまう。このようなベクトルを擬ベクトル、あるいは軸性ベクトルと呼ぶ。

擬ベクトルは鏡像変換（空間の一成分を反転）によっても方向を変える。一般に n 回の鏡像変換で極性ベクトルの成分の符号は $( - 1) n$ 変わり、軸性ベクトルの方向も同じだけ変わる。空間反転は 3 回の鏡像変換と等しいので擬ベクトルは方向を変える。