曲率

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

曲率 (Curvature) とは曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。例えば半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。

[編集] 曲線の曲率

[編集] 定義

曲線上の点 P₀ を基点とし、そこから曲線上のある点 P（位置ベクトル r_P で表されるとする）までの距離を s とする。点 P の位置ベクトル r は、s によって、

$\mathbf{r}_P = \mathbf{r}(s)$

と表すことができる。同様にして曲線上の点 Q（点 P₀ からの距離は s + Δs）は、

$\mathbf{r}_Q = \mathbf{r} (s + \Delta s)$

と表される。以下、特に断らない限り r_P = r とする。ここで、点 P 上の曲線に対する接線方向の単位ベクトル（これを t(s) とする）は、

${d \mathbf{r}_P \over {ds} } = \mathbf{t} (s)$

となる。これが単位ベクトルとなるのは位置ベクトルの微小な変位分 d r において、|d r| = ds だからである。点 Q 上の曲線に対する接線方向の単位ベクトルは、

${d \mathbf{r}_Q \over {ds} } = \mathbf{t} (s + \Delta s)$

となる。点 P、点 Q での接線の単位ベクトル t(s), t(s + Δs) のなす角度を θ として、Δs を限りなく小さくしていくと、

$\chi = \lim_{\Delta s \to 0} \left| {\Delta \theta \over {\Delta s} } \right | = \left | { d \mathbf{t} \over {ds} } \right | = {1 \over R}$

となる。ここで χ を曲率、R を曲率半径と言う。曲率の逆数が、曲率半径となっている。また、Δs → 0 の極限でこれら二つの接線によって決められる平面を、点 P における接触平面と言う。

[編集] 性質

更に、t を s で微分すると、

${ d \mathbf{t} \over {ds} } = { d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } = \mathbf{n} {d \theta \over {ds} } = {\mathbf{n} \over R}$

が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、

$\left( {d \mathbf{r} \over {ds} } \right)^2 = \left | { d \mathbf{r} \over {ds} } \right |^2 = 1$

となり、これを s について微分すると、

${d \over {ds} } \left( {d \mathbf{r} \over {ds} } \right)^2 = {d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } \cdot {d \mathbf{r} \over {ds} } + {d \mathbf{r} \over {ds} } \cdot {d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } = {\mathbf{n} \over R} \cdot \mathbf{t} + \mathbf{t} \cdot {\mathbf{n} \over R} = 0$