有理化

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数学において、有理化（ゆうりか）とは、根号を含む式、とくに平方根を含む分数式の分母または分子、から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数（代数的無理数）を有理数に変える操作であることからこの名がある。

[編集] 概要

有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えば

$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}={2-\sqrt{3}}$

などがあげられる。

抽象代数学的にはこの例は、Q を有理数体、d ∈ Q が有理数の平方ではないとしたとき

$\mathbb{Q}(\sqrt{d}) = \left\{ \frac{a + b\sqrt{d}}{a' + b'\sqrt{d}} \,\Big|\, a,a',b,b' \in \mathbb{Q} \right\}$

という Q の二次拡大体を考えると、

$\mathbb{Q}(\sqrt{d}) = \mathbb{Q}[\sqrt{d}] (= \{ a + b\sqrt{d} \mid a,b \in \mathbb{Q}\})$

が成り立つ、という主張に一般化できる。

これは K = Q(√d) の各元 a + b√d に対し、その拡大 K/Q に関する共役元 a - b√d を掛ければ

$N(a+b\sqrt{d}) := (a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d}) = a^2-b^2d$

（この N(a + b√d) は a + b√d の（拡大 K/Q に関する）ノルムと呼ばれる。）が Q に属すということからまさに有理化によって 証明されるわけである。

一般に、体 K の（有限次ガロア）拡大体 L の元に対し、その元の拡大 L/K に関する共役元（二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある）をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 K に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。