米田の補題

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米田の補題（よねだのほだい、Yoneda's Lemma）とは、対象 X で表現される表現可能関手からほかの関手 F への自然変換たちと、F の X における値とが自然に対応していることを記述する定理である。

[編集] 言明

C を小さな圏（あるいは小さなhom集合をもつ圏）とする。C の任意の対象 X について X^∼ = Hom_C(X, –) とおくことにする。F を C から集合の圏への共変関手とするとき、X^∼ から F への自然変換と FX の元との間に、自然変換 σ に対して σ_X(id_X) (σ_X: Hom_C(X, X) → FX) を対応させることで与えられる自然な対応がある。

$\mathrm{Nat}(\tilde{X}, F) \gets\!\to FX;\ \sigma \gets\!\mapsto \sigma_X(\mathrm{id}_X).$

[編集] 同値な言明（反変版）

C を小さな圏（あるいは小さなhom集合をもつ圏）とする。C の任意の対象 X について yX = Hom_C(–, X) とおくことにする。F を C から集合の圏への反変関手とするとき、yX から F への自然変換と FX の元との間に、自然変換 σ に対して σ_X(id_X) を対応させることで与えられる自然な対応がある。

[編集] 米田埋め込み

「小さな」圏Cの対象X, Yについて、X^∼ から Y^∼ への自然変換たちと Hom_C(Y, X) の間に自然な対応がある。これはX → X^∼がCからSets^C（Cから集合の圏への関手のなす圏）への忠実充満反変関手になっているということである。同様にして、yXからyYへの自然変換たちとHom_C(X, Y)の間に自然な対応があり、X → yX はCからC上の前層の圏への忠実充満関手であることが従う。