行列の基本変形

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行列の基本変形 (ぎょうれつのきほんへんけい) とは、ある行列の性質を保ちながら、簡単な形に変形することで、目的となる性質を取り出すための、線型代数学の基本的な概念である。

[編集] 基本行列

次の3つの正方行列は、基本変形に大きな役割を果たす。これらの行列を基本行列と呼ぶ。

$P = \begin{pmatrix} 1 & & & & & &\\ & \ddots & & & & &\\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & &\\ & & 1 & & 0 & &\\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\\ \end{pmatrix}$

$Q = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & c & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots &\\ & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix}$

$R = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & c & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots &\\ & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix}$

[編集] 基本変形

まず、P を左からかけると、行列は、i 行と j 行が交換される。右からかけると、行列は i 列と j 列が交換される。

Q を左からかけると行列は i 行が c 倍される。 Q を右からかけると行列は i 列が c 倍される。

R を左からかけると行列は i 行に j 行の c 倍が加わる。 R を右からかけると行列は i 列に j 列の c 倍が加わる。

左から基本行列を掛けることを左基本変形または行基本変形と呼び、右から基本行列を掛けることを右基本変形または列基本変形と呼ぶ。また、両方をあわせて基本変形と呼ぶ。

[編集] 逆行列の計算

逆行列の定義は XA = E（および AX = E）なる X であった（Eは単位行列、以下同様）。つまり、逆行列 X は A を左（もしくは右）基本変形して単位行列 E に変形したときの、行列演算を集めたものに他ならない。

簡便に計算する方法をいかに例を挙げて紹介する。

階数を計算する場合も同様に行うことができる。

[編集] 逆行列の計算例

この行列 A に対して、左基本変形によって単位行列に変形を試みる。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 6\\ 1 & 4\\ \end{pmatrix}$

1行目を1/2倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 1 & 4\\ \end{pmatrix}$

2行目に1行目の-1倍を加える。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

1行目に2行目の-3倍を加える。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

この基本変形を行列の積の形で書くと次のような形となる。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} A = E$

つまり行列 A の逆行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1/2 & 1 \\ \end{pmatrix} = A^{-1}$