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뫼비우스 반전 공식 - 위키백과

뫼비우스 반전 공식

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

수론에서의 뫼비우스 반전 공식( ; Möbius inversion formula)은 다음과 같다. g(n) 과 f(n)이 수론적 함수이며,

$g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\quad\mbox{for every integer }n\ge 1$

을 만족하면,

$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\mu(n/d)\quad\mbox{for every integer }n\ge 1$

이 성립한다. 여기서 μ는 뫼비우스 함수이고, 덧셈은 n의 양의 약수 d 전체에 대해 이루어진다.

f와 g가 자연수에서 어떤 가환군으로의 함수일 때에도 공식은 성립한다.

포갬(convolution)을 사용하여 공식을 써 보면 다음과 같다.

μ * 1 = ε.

조합론(combinatorics)에서 자주 쓰이는 동치의 진술은 다음과 같다.

F(x)와 G(x)가 구간 [1,∞)에서 복소수로의 함수이고,

$G(x) = \sum_{1 \le n \le x}F(x/n)\quad\mbox{ for all }x\ge 1$

을 만족하면,

$F(x) = \sum_{1 \le n \le x}\mu(n)G(x/n)\quad\mbox{ for all }x\ge 1.$

이 성립한다.

여기서 합은 x보다 작거나 같은 모든 양의 정수 n에 대해서 이루어진다.

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org../../../%EB%AB%BC/%EB%B9%84/%EC%9A%B0/%EB%AB%BC%EB%B9%84%EC%9A%B0%EC%8A%A4_%EB%B0%98%EC%A0%84_%EA%B3%B5%EC%8B%9D.html’

분류: 수론적 함수 | 조합론

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