퀸-매클러스키 알고리즘

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퀸-매클러스키 알고리즘(Quine-McCluskey algorithm)은 논리식을 최소화하는 알고리즘이다. 내부적으로는 카노 맵과 동일하지만, 그림을 그려서 맞추는 카노 맵과 달리 표를 사용하기 때문에 컴퓨터에서 쉽게 돌릴 수 있다. 또한 논리함수의 최소 형태를 결정론적으로 구할 수 있다.

알고리즘은 다음 두 단계로 구성된다.

주어진 함수의 후보항(Prime Implicants)들을 모두 구한다.
후보항들을 이용해서 후보항 표에서 필수항(Essential Prime Implicant)을 구한다.

[편집] 복잡도

카노 맵과 달리, 퀸-매클러스키 알고리즘을 사용하면 변수가 4개를 넘더라도 효율적으로 논리 최적화할 수 있다. 그러나 논리 최적화 문제가 기본적으로 NP-완전이므로, 퀸-매클러스키 알고리즘은 변수의 개수가 제한된 경우에만 효율적으로 실행할 수 있다. 퀸-매클러스키 알고리즘의 실제 실행시간은 입력에 대해 지수적으로 증가한다. n 개의 변수가 있을 때, 후보항 개수의 상한은 3ⁿ/n임을 보일 수 있다. n = 32이면 6.1 * 10¹⁴, 즉 617조 개의 후보항이 존재한다. 변수의 개수가 많을 때는 발견적인 방법으로 문제를 풀어야 한다.

[편집] 예제

[편집] 1 단계: 후보항 찾기

다음 함수를 최소화 해보자:

f(A, B, C, D) =

Σ

(4, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15)

     A B C D   f 
 m0  0 0 0 0   0
 m1  0 0 0 1   0
 m2  0 0 1 0   0
 m3  0 0 1 1   0
 m4  0 1 0 0   1
 m5  0 1 0 1   0
 m6  0 1 1 0   0 
 m7  0 1 1 1   0
 m8  1 0 0 0   1
 m9  1 0 0 1   1
m10  1 0 1 0   1
m11  1 0 1 1   1 
m12  1 1 0 0   1
m13  1 1 0 1   0
m14  1 1 1 0   1
m15  1 1 1 1   1

최소항(minterm)들의 합으로 표현하면, 쉽게 곱의 합 정규형 표현(canonical sum of products expression)을 얻는다.

$f A, B, C, D = A' B C' D' + A B' C' D' + A B' C' D + A B' C D' + A B' C D + A B C' D' + A B C D' + A B C D$

물론 이것은 최소가 아닐것이다. 따라서 모든 최소항들을 일단 최소항 표에 넣어 최적화 한다.

1의 개수  최소항  2진수 표기
-----------------------------
1           m4       0100
            m8       1000
-----------------------------
2           m9       1001
            m10      1010
            m12      1100
-----------------------------
3           m11      1011
            m14      1110
-----------------------------
4           m15      1111

여기서 최소항을 다른 최소항과 결합한다. 만일 두 항이 한 자리만 차이난다면, 그 자리를 -로 대체한다(이것은 그 자리가 영향을 끼치지 않는다는 것을 의미한다). 더 이상 결합하지 못하는 항들은 *로 표시하였다.

1의 갯수    최소항  2진수 표기| 크기가 2인 후보항 | 크기가 4인 후보항
------------------------------|-------------------|----------------------
1             m4       0100   | m(4,12)  -100*    | m(8,9,10,11)   10--*
              m8       1000   | m(8,9)   100-     | m(8,10,12,14)  1--0*
------------------------------| m(8,10)  10-0     |----------------------
2             m9       1001   | m(8,12)  1-00     | m(10,11,14,15) 1-1-*
              m10      1010   |-------------------|
              m12      1100   | m(9,11)  10-1     |
------------------------------| m(10,11) 101-     |
3             m11      1011   | m(10,14) 1-10     |
              m14      1110   | m(12,14) 11-0     |
------------------------------|-------------------|
4             m15      1111   | m(11,15) 1-11     |
                              | m(14,15) 111-     |

[편집] 2 단계: 후보항 표

더는 어떤 항도 결합할 수 없을 때, 필수항 표(essential prime implicant table)를 만든다. 이전 과정에서 얻은 최후의 후보항들을 표에 세로로 늘어놓고, 가로로는 앞에서 얻었던 최소항들을 나열한다.

	4	8	9	10	11	12	14	15
m(4,12)*	X					X
m(8,9,10,11)*		X	X	X	X
m(8,10,12,14)		X		X		X	X
m(10,11,14,15)*				X	X		X	X

필수항을 *로 표시하였다. 만일 후보항을 더 이상 없앨 수 없다면 남은 후보항은 필수항이다. 3번째의 항은 1, 2가 표현하는 최소항에 의해 표현되므로 없앨 수 있다. 1, 3, 4번 항을 택하는 것도 다른 답이 된다. 가끔 후보항들이 모든 최소항을 표현해내지 못할 때가 있는데, 그럴 때는 추가 과정이 필요하다. 가장 간단한 "추가 과정"은 모두 시도해보는 것이지만, 더 체계적인 방법으로 페트릭의 방법(Petrick's Method)이 있다. 이 예제에서 최소 후보항은 모든 최소항을 표현해내므로 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$f A, B, C, D = B C' D' + A B' + A C$

위의 식은 원래의 식과 논리적으로 동치이다.

$f A, B, C, D = A' B C' D' + A B' C' D' + A B' C' D + A B' C D' + A B' C D + A B C' D' + A B C D' + A B C D$