Prudüit cartesià

From Wikipedia

Artícuj relazziunaa a Matemàtega

Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada.

In matemàtega, ul prudüit cartesià da düü cungjuunt X e Y al è ul cungjuunt da töcc i para', da che la prima cumposanta al partegn à X e la segunda à Y. Sa la generaliza fàcilameent la nuzziú da prudüit cartesià binari à chela da prudüit cartesià finii, ch’al è alura un cungjuunt da mültiplet, sa al diis n-uplets paj elemeent d'un prudüit cartesià da n cungjuunt. Sa la pöö apó intrudüí la nuzziú da suma dis&midot;gjunta (u cartesiana). Par generalizá aj prudüit cartesià infinii, di prudüit d'una famèja qual-sa-vöör (eventualameent infinida) da cungjuunt, sa gh'a büsögn da la nuzziú da funziú .

Cuntegnüü

1 Prudüit cartesià da düü cungjuunt
2 Generaalizazziú à plüü da düü cungjuunt
3 Suma dis&midot;gjunta
4 Prudüit infinii
- 4.1 Famèja da cungjuunt
- 4.2 Prudüit cartesià d'una famèja da cungjuunt
5 Vidée apó

[redatá] Prudüit cartesià da düü cungjuunt

[redatá] Definizziú

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, al esiist un ünich cungjuunt da che i elemeent i è i para da che la prima cumposanta al partegn à A e la segunda à B :

$\forall\ A , \forall\ B , \exists\ P /\ \forall\ x , \forall\ ga , \, [\ ( x \in A ) \wedge ( y\in B ) \ ] \Rightarrow [\ ( x , y ) \in P \ ] \,$

Si sa i cunsidera i para e i prudüit cartesià cuma una nuzziú primitiva, sa arà cuma assioma chesta prupietaa d'esistenza e d'ünicitaa. Sa la demustra in teuría di cungjuunt, par la representazziú di para scernida.

[redatá] Esempi

Si A al è ul cungjuunt { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } e B ul cungjuunt { piche, cöör, quàdar, fiuur }, alura ul prudüit cartesià di chiist düü cungjuunt al è ul cungjuunt à 52 elemeent sigütaant :

{ (A, piche), (R, piche), ... (2, piche), (A, cöör), ... (3, fiuur), (2, fiuur) }.

[redatá] Prupietaa

Par definizziú , ul prudüit cartesià d'un cungjuunt pal cungjuunt vöj al è iguaal al cungjuunt vöj :

$\forall\ A ,\ \emptyset \times A = A \times \emptyset = \emptyset \,$

In régula generala, B x A ≠ A x B. Plüü precisameent :

$\forall\ A , \forall\ B ,\ [\ A \times B \ B \times A \ ] \Leftrightarrow [\ ( A \ B ) \wedge ( A \ \emptyset ) \wedge ( B \ \emptyset ) \ ] \,$

Remarca : A x A al è nutaa A² (lesí « A al quadraa ») e cjamaa 'quadraa cartesià da A :

$A^2 = \{ ( x,y ) | ( x \in A ) \wedge ( y\in A ) \}$

A² al gh’a da mia vess cunfundu cun ΔA (lesí « delta A »), diagunala da A :

$\Delta A = \{ ( x, x ) | x \in A \}$

Remarca : La diagunala d'un cungjuunt sa la cunfuunt cun ul sò quadraa cartesià si e noma si cheest cungjuunt al è vöj u sa al redüiss à un singletú.

I sübcungjuunt d'un prudüit cartesià i è cjamaa graaf.

[redatá] Representazziú in teuría di cungjuunt

L'esistenza da chiist cungjuunt la sigüta da chela da $\ _\mathfrak P$ [ $\ _\mathfrak P$ ( A $\ _{ \cup }$ B ) ] ( indúe $\ _\mathfrak P$ ( E ) al designa ul cungjuunt da le parte da E ). L'ünicitaa da P par A e B daa a l’è garantida par l' Assioma d'estensiunalitaa. Cheest cungjuunt al è nutaa « A x B » (lesí « A cruus B ») e al è cjamaa 'prudüit cartesià da A par B :

$A \times B = \left \{ (a, b) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \right \}$

[redatá] Generaalizazziú à plüü da düü cungjuunt

[redatá] Triplett

Cuma paj para, l'impurtaant, al è la suva prupietaa fundamentala : düü triplett i è iguaj si e noma si le suve prime cumpusante i è iguale intra da luur, pöj le suve segunde cumposante, e infí le suve terze :

$\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]$

Da tüta manera, chesta prupietaa la süfiss mia à definí la nuzziú da triplet, plüü da definizziú incumpatíbil intra da luur i è pussíbile a priori. Sa al ponn abitüalameent :

$\forall a , \forall b , \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )$

[redatá] Prudüit cartesià da trii cungjuunt

Al è definii par :

$A \times B \times C = \left \{ ( a, b, c ) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \wedge ( c \in C ) \right \}$

Dapress vargot ch’al preceet, A x B x C = ( A x B ) x C. Là apò l'úrden di tèrmen al è impurtaant. Ul prudüit A x A x A al è cjamaa 'cübi cartesià da A e al è nutaa A³ (lesí « A al cübi ») :

$A^{3} = \{ ( x,y , z) | ( x \in A ) \wedge ( y\in A ) \wedge ( z \in A ) \}$

I prudüit cartesià i è staa desvilüpaa par la prima völta par René Descarte íntal cunteest da la geumetría analítica. Si $\ _\mathbb R$ al designa ul cungjuunt da töcc i nümar reaal, alura $\ _\mathbb R$ ² = $\ _\mathbb R$ x $\ _\mathbb R$ al representa ul Plà euclidià e $\ _\mathbb R$ ³ = $\ _\mathbb R$ x $\ _\mathbb R$ x $\ _\mathbb R$ representa ul spazzi euclidià tri-dimensiunaal.

[redatá] Mültiplett

Le definizziú precedenta sa la generaliza par recürenza :

Prupietaa fundamentala d'un mültiplet d'úrden n, u n-uplet :

$\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots , \forall a_{n} , \forall b_{1} , \forall b_{2} , \cdots , \forall b_{n} ,$

$[\, ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n} ) = ( b_{1} , b_{2} , \cdots b_{n} ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_{1} = b_{1} ) \wedge ( a_{2} = b_{2} ) \wedge \cdots ( a_{n} = b_{n} ) \,]$

Definizziú d'un n-uplet :

$\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots \forall a_{n} , ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} , a_{n} ) = ( ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} ) , a_{n} )$

'prudüit cartesià da n cungjuunt :

$A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} \times A_{n} = ( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} ) \times A_{n}$

Pudenza cartesiana dij n d'un cungjuunt :

$A^{n} = A^{n-1} \times A = \prod_{i=1}^n A = \{ ( x_1 , x_2 , \cdots x_n ) | \,\forall i , x_i \in A \,\}$

Nota : sa i pöö definí di prudüit cartesià infinii (vidé chí-da-sota), però pal fá, a gh'emm büsögn da la nuzziú da funziú .

[redatá] Suma dis&midot;gjunta

Int una reüniú da cungjuunt $A\cup B$ , l'urígen di elemeent ga figüraant a l'è perdüda. Un mezz d'évitá chesta pèrdita d'infurmazziú a l’è da réuní mia esatameent i cungjuunt da partenza, però da le copie da chiist cungjuunt da la furma { α } × A e { β } × B , indúe « α » e « β » i è düü símbuj qual-sa-vöör distiint ch'i serviss à identificá i cungjuunt A e B, par esempi « Ø » e « { Ø } » , u « 0 » e « 1 ».

L' üniú dis&midot;gjunta, apò cjamada suma dis&midot;gjunta u suma cartesiana da düü cungjuunt a l'è inscí definida par :

$\forall A , \forall B , A + B = A \dot \cup B = \dot \cup ( A , B ) = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B )$

La nutazziú a prefiss « $\ _{ \dot \cup }$ ( A , B ) » la met in evidenza che la suma dis&midot;gjunta da düü cungjuunt la verifica la prupietaa fundamentala di para. Da plüü, cuntrariameent aj para, la nuzziú la pöö s'aplicá a le classe propie. Al è par che le sume dis&midot;gjunte i è da le völte cjamade para generalizaa. Plüü precisament, si sa al rencuntra un para da che l'öna da le cumpusante a l’è una classa propia, al sa trata da chesta representazziú: ul para al è vidüü cuma una suma dis&midot;gjunta.

La suma dis&midot;gjunta la pöö sa generalizá à plüü da düü cungjuunt. Par esempi, par trii cungjuunt qual-sa-vöör $A, B, C$ :

$A\dot \cup B \dot \cup C = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B ) \cup ( \{ 2 \} \times C )$

Sa recjama che l'intreegh la 2 pöö sa definí cuma {Ø,{ Ø }}, e plüü generalament, si l'intreegh n al è definii, l'intreegh n+1 al è definii par $n+1=n \cup {n}$ (intreegh da von Neumann).

Sa pöö dunca definí inscí la suma dis&midot;gjunta da n cungjuunt $A_0, A_1, A_2 , \cdots A_{n-1}$ qual-sa-vöör :

$A_0 \dot\cup A_2 \dot\cup\cdots\dot\cup A_{n-1} = \bigcup_{i=0}^{n-1} \{i\}\times A_i$

Cheest chí al permett da generalizá vargot ch’al preceet : si sa rencuntra un n-uplet da che öna da le cumpusante a l’è una classa propia, sa al trata d'una reüniú da n classe (cungjuunt u mia). D’otra banda chesta definizziú da la suma dis&midot;gjunta la dröva i intreegh da la teuría di cungjuunt, mia chij dal meta-lenguagg. Sa pöö dunca da l’istessa manera generalizá chesta nuzziú à di cungjuunt qual-sa-vöör (mia necessariameent finii) par l'indessameent , par esempi di reüniú dis&midot;gjunte cüntàbile .

[redatá] Prudüit infinii

Sa generaliza la nuzziú da prudüit cartesià à chela da prudüit d'una famèja da cungjuunt indessada par una cungjuunt qual-sa-vöör, finii u infinii. Malgraa plüü generala, chesta nuzziú la pöö vess intrudüida natüralameent in teuría di cungjuunt prima da chela da prudüit cartesià binari, par che la dröva la nuzziú da funziú , che, in teuría di cungjuunt, al è un cungjuunt da para igaant da le bune prupietaa. Una funziú da A in B al è dunca un sübcungjuunt dal prudüit cartesià A × B.

[redatá] Famèja da cungjuunt

Una famèja da cungjuunt indessada par $I n$ a l’è una funziú definida sü I. Al sa trata gjüüst d'una nutazziú (adatada à un vargü üüs) par una custrüzziú cugnussüda.

Una famèja indexada par I al è nutada (A_i)_i∈I. Al sentüü da la teuría di cungjuunt, la famèja (A_i)_i∈I al è dunca ul cungjuunt di para (i,A_i), paj ∈ I.

La reüniú d'una famèja ${A_i}_{i\in I}$

nutada $\bigcup_{i\in I}A_i$ , la designa bé la reüniú di imàgen da la famèja, e mia chele di elemeent da la famèja, che, al sentüü strecc, i è di para.

[redatá] Prudüit cartesià d'una famèja da cungjuunt

Sa al pöö adess definí ul prudüit cartesià d'una famèja da cungjuunt ${A_i}_{i\in I}$ ; sa trata dal cungjuunt di funziú $f$ da $I$ in $\bigcup_{i\in I}A_i$ tale che, par tütt $i\in I$ , $f(i)\in A_i$ :

$\prod_{i \in I} A_i = \{ f : I \to\bigcup_{i \in I} A_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in A_i)\},$

Par druvá chesta definizziú , al cuventa pudé trá fö d'un elemeent dal prudüit la suva cumpusanta d'índes j, elemeent da I. Sa la definiss par tütt j in I, la funziú , cjamada prujezziú d'úrden j,

$\pi_{j} : \prod_{i \in I} A_i \to A_{j},$