Notation bra-ket

De Wikipedia, le encyclopedia libere

Le notation bra-ket es le notation standard pro describer statos quantic in le theoria del mechanica quantic. Illo etiam pote esser usate pro denotar vectores abstracte e functionales linear in mathematica pure. Illo es assi appellate a causa de que le producto interne de duo statos es denotate per un bracket, $\langle\phi|\psi\rangle$ , consistente de un parte sinistre, $\langle\phi|$ , appellate le bra, e de un parte dextre, $|\psi\rangle$ , appellate le ket. Le notation esseva inventate per Paul Dirac, e es etiam cognoscite como le notation de Dirac.

Tabula de contento

1 Bras e kets
2 Proprietates
3 Operatores linear
4 Bras e kets componite
5 Representationes in termos de bras e kets
6 Ligamines externe
7 Vide etiam

[modificar] Bras e kets

In mechanica quantic, le stato de un systema physic es identificate con un vector in un spatio de Hilbert complexe, H. Cata vector es appellate un "ket", e scribite como

$|\psi\rangle$

ubi ψ denota un ket particular, legite como "psi ket."

Cata ket $|\psi\rangle$ ha un dual bra, scribite como

$\langle\psi|$

Isto es un functional linear continue de H al numeros complexe $\mathbb{C}$ , definite per:

$\langle\psi|\rho\rangle = \bigg( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \bigg)$ pro omne kets $|\rho\rangle$

ubi ( , ) denota le producto interne definite in le spatio de Hilbert. Le bra es simplemente le conjugate transponite (etiam appellate le Hermitian conjugate) del ket e vice versa. Le notation es justificate per le theorema del representation de Riesz, que stabilite que un spatio de Hilbert e su spatio dual es isometricmente isomorphic. Assi, cata bra corresponde a exactemente un ket, e vice versa. Isto non es semper le caso nonobstante; in le pagina 111 de "Quantum Mechanics" per Cohen-Tannoudji et. al. il es clarificate que ha tal un relation inter bras e kets solmente si le functiones usate es integrabile quadraticamente. Ille considera un base continuous e un function delta de Dirac o un unda seno o cosseno como un function de unda. Tal functiones non es integrabile quadraticamente e ergo il appare que le bras existe con non correspondente ket. Le ration que isto non impede le mechanica quantic es proque tote function de unda es in realitate integrabile quadraticamente.

Le notation bra-ket pote esser usate si le spatio vectorial non es un spatio de Hilbert. In qualcuque spatio de Banach B, le vectores pote esser notate per kets e le functionales linear continue per bras. Super qualcunque spatio vectorial sin topologia, on pote etiam notar le vectores per kets e le functional linear per bras. In iste plus general contextos, le bracket non ha le signification de un producto interne, proque le theorema del representation de Riesz non es applicabile.

Applicante le bra $\langle\phi|$ al ket $|\psi\rangle$ resulta in un numero complexe, appellate un "bra-ket" o "bracket", que es scribite como

$\langle\phi|\psi\rangle$ .

In mechanica quantic, isto es le amplitude de probabilitate pro el stato ψ collapsar in le stato φ.

[modificar] Proprietates

Bras e kets pote esser manipulate in le sequente modos:

Date qualcunque bra $\langle\phi|$ , kets $|\psi_1\rangle$ e $|\psi_2\rangle$ , e numeros complexe c₁ e c₂, ergo, desde que le bras es functionales linear,

Date qualcunque ket $|\psi\rangle$ , bras $\langle\phi_1|$ e $\langle\phi_2|$ , e numeros complexe c₁ e c₂, ergo, per le definition de addition e scalar multiplication de functionales linear,

Date qualcunque kets $|\psi_1\rangle$ e $|\psi_2\rangle$ , e numeros complexe c₁ e c₂, del proprietates del producto interne (con c* denotante le complexe conjugate de c),

$c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle$ es dual al $c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|.$

Date qualcunque bra $\langle\phi|$ e ket $|\psi\rangle$ , e proprietate axiomatic del producto interne de

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*$ .

[modificar] Operatores linear

Si A : H → H es un operator linear, on pote applicar A al ket $|\psi\rangle$ pro obtener le ket $(A|\psi\rangle)$ . Le operatores linear es ubiquite in le theoria del mechanica quantic. Per exemplo, le operatores hermitian es usate pro representar quantitates physic observabile, tal como energia o momentum, enquanto operatores unitari linear representa processos transformative tal como un rotation o le progression del tempore.

Le operatores pote esser vidite como agente super bras del latere dextre. Applicante le operator A al bra $\langle\phi|$ resulta in le bra $(\langle\phi|A)$ , definite como un functional linear in H per le regula

$\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg)$ .

Iste expression es communmente scribite como

$\langle\phi|A|\psi\rangle.$

Un modo conveniente de definir operatores linear in H es date per le producto externe: si $\langle\phi|$ es un bra e $|\psi\rangle$ es un ket, le producto externe

$|\phi\rang \lang \psi|$

denota le rank de un operator que mappa le ket $|\rho\rangle$ al ket $|\phi\rangle\langle\psi|\rho\rangle$ (ubi $\langle\psi|\rho\rangle$ es le multiplication scalar del vector $|\phi\rangle$ ). Un del usos del producto externe es pro construer le operator de projection. Date un ket $|\psi\rangle$ de norma 1, le projection orthogonal super le subspatio linear generate per $|\psi\rangle$ es

$|\psi\rangle\langle\psi|$

[modificar] Bras e kets componite

Duo spatios de Hilbert V e W pote formar un tertie spatio $V \otimes W$ per un producto tensorial. In mechanica quantic, isto es usate pro describer systemas composite. Si un systema es componite de duo subsystemas describite per V e W respectivemente, "then" le spatio de Hilbert del systema integre es le producto tensorial del duo spatios. (Le exception a isto es si le subsystemas es realmente formate de particulas identic. In iste caso, le situation es un pauc plus complicate.)

Si $|\psi\rangle$ es un ket in V e $|\phi\rangle$ e un ket in W, le producto tensorial del duo kets es un ket in $V \otimes W$ . Isto es scribite variemente como

[modificar] Representationes in termos de bras e kets

In mechanica quantic, il es multe vices conveniente laborar con le projectiones del vectores de stato super un base particular, al inves del vectores illos proprie. Le ration es que le prime es simplemente numeros complexe, e pote esser formulate in termos de equation differential partial (vide, per exemplo, le derivation del position-basis equation de Schrödinger). Iste processo es multe similar al uso de coordinatas vectorial in algebra linear.

Per exemplo, le spatio de Hilbert de un particula punctual de spin zero (spin = gyro) es generate per un base de position $\lbrace|\mathbf{x}\rangle\rbrace$ , ubi le etiquetta x extende super le collection de vectores de position. Commenciante ex qualcunque ket $|\psi\rangle$ in iste spatio de Hilbert, nos pote definir un function scalar complexe de x, cognoscite como un function de unda:

$\psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|\psi\rang$ .

Il es assi possibile definer operatores linear agente super functiones de unda in termos de operatores linear agente super kets, per

$A \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|A|\psi\rang$ .

Nonobstante le operator A al sinistra de iste equation es, per convention, etiquettate in le mesme modo que un operator al latere dextre. On debe haber presente in le mente que le duo es conceptualmente differente entitates: le prime age in le functiones de unda, e le secunde age super le kets. Per exemplo, le operator de momentum p ha le sequente forma:

$\mathbf{p} \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x} |\mathbf{p}|\psi\rang = - i \hbar \nabla \psi(x)$ .

On occasionalmente incontra un expression como

$- i \hbar \nabla |\psi\rang$ .

Isto es alicun abuso de notation, nonobstante un notation multe commun. Le operator differential debe esser comprendente esser un operator abstract, agente super kets, que ha le effecto de functiones differentiante de unda depost que le expression es projectate super le position base:

$- i \hbar \nabla \lang\mathbf{x}|\psi\rang$ .