LU-þáttun

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

LU-þáttun er aðferð í stærðfræði til þess að brjóta fylki niður í tvö fylki, annarsvegar fylki á efra stallaformi, sem kallað er U, og hinsvegar andhverfanlegt fylki sem kallað er L.

Ef að A er fylki og markmiðið er að LU-þátta A, þá eru notaðar línuaðgerðir samkvæmt reikniriti Gauss til þess að koma fylkinu A yfir á efra stallað form, sem er fylkið U, en hver línuaðgerð er skráð í fylki E_i, þar sem að i er númer línuaðgerðarinnar. Eingöngu má leggja margfeldi lína saman, en víxlun raða og margföldun raða með tölu er ekki leyfð.

Þegar fylkin $E 1, E 2,... E n$ eru fundin skal margfalda andhverfur þeirra saman, en þar sem að E eru frumfylki eru þau andhverfanleg og margfeldi þeirra er jafnframt andhverfanlegt.

$L = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_n^{-1}$

[breyta] Hagnýtingar LU þáttunar

Þegar að leysa á línulegt jöfnuhneppi $A\bold{x} = \bold{b}$ fyrir marga mismunandi vigra b er reikniaðgerðin mjög tímafrek. Þá er fylkið A LU-þáttað og $A = L U$ . Vigur er skilgreindur $\bold{y} = U\bold{x}$ , og jöfnuhneppið $L\bold{y} = \bold{b}$ er leyst. Þar sem að L er andhverfanlegt ferningsfylki, og jafnframt neðra þríhyrningsfylki (sökum þess að allar línuaðgerðirnar eru skráðar á neðri þríhyrningi) eru allar margföldunaraðgerðir einfaldaðar til muna.