Пресликување

Од Википедија, слободна енциклопедија

Пресликувањето е еден од најосновните поими во математиката. Не постои дел од математиката во кој не се вклучени пресликувањата, не постои математичка теорија која на овој или оној начин не ги вклучува пресликувањата.

За да го дефинираме поимот пресликување ќе појдеме од други, поелементарни поими. Нека се дадени две непразни множества: $\ A$ и $\ B$ . Ако постои барем еден елемент $a \in A$ на кој според некое правило му е придружен елемент $b \in B$ , тогаш велиме дека постои придружување (кореспонденција) од множеството $\ A$ во $\ B$ . Ако на елементот $\ a \in A$ му е придружен елементот $\ b \in B$ бележиме:

$a \longmapsto b$

$a \xrightarrow{f} b$

при што $\ a$ се нарекува оригинал или аргумент, а $\ b$ слика; множеството $\ A$ се нарекува домен или дефиниционо множество на придружувањето, а множеството $\ B$ - кодомен или множество слики.

Ако придружувањето го обележиме со $\ f$ , а придружените елементи како подреден пар од видот: $\ a \xrightarrow{f} b \,\,\,\Leftrightarrow \,\,\, (a,b)$ , тогаш за придружувањето може да се запише:

$\ f \subseteq A \times B = \left \{ (x,y) | x \in A, \,\, y \in B \right \}$ и

$\ f(a) = b$

Меѓутоа при придружувањето на елементи од посочените множества не се наведени никакви услови кои придружувањето мора да ги задоволи; едноставно се формираат парови од елементи при кои едниот елемент му е придружен на другиот.

За едно придружување од множество $\ A$ во множество $\ B$ биде пресликување мора да го задоволува следново својство:

$\forall \, x \in A, \,\, \exists !\, y \in B,$ така што $\ x \longmapsto y$ ,

т.е. за секој $\ x \in A$ , постои единствен (еднозначно определен) $\ y \in B$ така што важи $\ x \longmapsto y$ , т.е. $\ f(x) = y$ . Ова значи дека едно придружување е пресликување ако и само ако секој елемент од доменот има единствена слика во кодоменот.

Ако аргументите на пресликувањето се броеви, него го нарекуваме бројно пресликување или функција.

[уреди] Особини на пресликувањата

[уреди] Линеарни пресликувања

Нека $\ \Bbb{F}$ е произволно поле и нека над него е формиран векторски простор $\ V(\Bbb{F})$ . Пресликувањата за кои е исполнето:

$\ f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)$

или

$\ \left ( f(\alpha x) = \alpha f(x) \right ) \land \left ( f(x+y) = f(x) +f(y) \right )$

за секои вектори $x, y \in V(\Bbb{F})$ и секои скалари $\alpha, \beta \in \Bbb{F}$ се нарекуваат линеарни пресликувања (првото својство се нарекува хомогеност, додека второто адитивност). Овие пресликувања се специфични во многу погледи, па затоа со нивните својства се занимава една цела математичка дисциплина наречена линеарната алгебра.