Algebraïsche meetkunde

Van Wikipedia

Algebraïsche meetkunde is een tak van de wiskunde, die zoals de naam al doet vermoeden een raakvlak vormt tussen de abstracte algebra, met name de vergelijkende algebra, en de geometrie. Het is de studie van reeksen oplossingen van algebraïsche vergelijkingen. Als er meer dan één variabele is, komt de meetkunde eraan te pas. De algebraïsche meetkunde begint waar het oplossen van vergelijkingen eindigt en is minstens zo belangrijk om het totaal aan oplossingen en systemen van vergelijkingen te begrijpen als het vinden van een oplossing. Dit onderwerp duikt diep in de wiskundige concepten en technieken.

[bewerk] Nulpunten van gelijktijdige polynomen

De klassieke algebraïsche meetkunde richt zich vooral op de verdwijnpunten van verzamelingen van polynomen, dus de reeks van alle punten die tegelijk een of meer polynome vergelijkingen op kunnen lossen. Bijvoorbeeld: de twee-dimensionale bol en de drie-dimensionale Euclidische ruimte $\mathbb R^3$ kunnen worden gedefinieerd als een reeks van alle punten $(x, y, z)$ met

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Een cirkel in $\mathbb R^3$ kan worden gedefinieerd als de reeks van alle punten $(x, y, z)$ die beantwoorden aan de twee polynome vergelijkingen

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

x + y + z = 0

[bewerk] Verwante soorten

We beginnen met een lichaam k. In de klassieke algebraïsche meetkunde was dit lichaam altijd $\mathbb C$ , de complexe getallen, maar veel van dezelfde resultaten zijn waar als we alleen veronderstellen dat k een gesloten lichaam is. We definiëren ${\mathbb A}^n_k$ , de verwante n-ruimte over k, als kⁿ. Het doel van deze schijnbaar overbodige notatie is the benadrukken dat de vectorstructuur die bij kⁿ hoort even vergeten moet worden. In abstracte bewoordingen is ${\mathbb A}^n_k$ voor het moment slechts een verzameling punten.

Voortaan laten we k in ${\mathbb A}^n_k$ weg en schrijven we in plaats daarvan

${\mathbb A}^n$ .

Definieer een functie

$f:{\mathbb A}^n\to{\mathbb A}^1$

die regelmatig is als het als een polynoom geschreven kan worden, dus, als het een polynoom p

bevat in

k [x 1,..., x n]

zodat voor elk punt

(t 1,..., t n)

van ${\mathbb A}^n$ ,

f (t 1,..., t n) =

p (t 1,..., t n)

Regelmatige functies in verwante n-ruimte zijn dus hetzelfde als polynomen over k in n variabelen. We schrijven de regelmatige functies in ${\mathbb A}^n$ als $k[{\mathbb A}^n]$ .

Polynomen verdwijnen op een punt waar ze op nul uitkomen. We definiëren S als een reeks polynomen in $k[{\mathbb A}^n]$ . De verdwijnpuntenreeks van S is de reeks V(S) van alle punten in $\mathbb{A}^n$ waarbij elke polynoom in S wegvalt. In andere woorden,

V(S)={(t₁, ...,t_n) | voor elke p in S,

p(t₁, ...,t_n) = 0}.

Een deelreeks van ${\mathbb A}^n$ , dus V(S) voor een S, wordt een algebraïsche reeks genoemd. De V staat voor (algebraïsche) variëteit (een zekere soort van algebraïsche reeks die hieronder gedefinieerd wordt).

Kan met een gegeven deelreeks V van ${\mathbb A}^n$ , die een variëteit is, de set polynomen teruggevonden worden waaruit het gevormd werd? Als V een willekeurige deelreeks is van ${\mathbb A}^n$ , definieer dan I(V) als de reeks van alle polynomen waarvan de verdwijnpuntenreeks V bevat. De I staat voor ideaal: als twee polynomen f en g beiden verdwijnen op V, dan verdwijnt f+g op V en als h een willekeurige polynoom is, dan verdwijnt hf op V, dus I(V) is altijd een ideaal van $k[{\mathbb A}^n]$ .

Twee vanzelfsprekende vragen zijn: Wanneer is

V = V(I(V))

bij een gegeven deelreeks V van ${\mathbb A}^n$ ? Wanneer is

S = I(V(S))

Bij een gegeven set s van polynomen?

Het antwoord op de eerste vraag wordt geleverd door het introduceren van de topologie van Zariski, een topologie voor ${\mathbb A}^n$ , die direct de algebraïsche structuur weergeeft van $k[{\mathbb A}^n]$ . V = V(I(V)) als en alleen als V een Zariski-gesloten reeks is. Het antwoord op de tweede vraag wordt gegeven door Hilbert's Nullstellensatz. In een van zijn vormen zegt het dat I(V(S)) de grondradicaal is van het ideaal dat door S wordt gegenereerd. In abstractere taal is er een Galoisverbinding die twee sluitingsmogelijkheden opleverd. Die kunnen worden geïdentificeerd en spelen een elementaire rol in de theorie.

Om allerlei redenen zullen we niet altijd willen werken met een complete ideaal overeenkomstig met de algebraïsche reeks V. Hilbert's basistheorema laat blijken dat idealen in $k[{\mathbb A}^n]$ altijd eindig worden gegenereerd.

Een algebraïsche reeks wordt onherleidbaar genoemd als het niet kan worden geschreven als de combinatie van twee kleinere algebraïsche reeksen. Een onherleidbare algebraïsche reeks wordt ook wel een variëteit genoemd. Het komt erop uit dat een algebraïsch reeks een variëteit is als en alleen als de polynomen die het definiëren een priemideaal van de polynome ring genereren.

Categorieën: Algebra | Meetkunde

Algebraïsche meetkunde

Van Wikipedia

[bewerk] Nulpunten van gelijktijdige polynomen

[bewerk] Verwante soorten

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen