Algebra van verzamelingen

Van Wikipedia

In de wiskunde is een algebra van verzamelingen een model voor een Booleaanse algebra of een Boole-ring aan de hand van een stel deelverzamelingen van een gegeven verzameling.

Inhoud

1 Definitie
2 Verband met Booleaanse algebra
3 Verband met ringtheorie
4 Verband met kansrekening

[bewerk] Definitie

Zij $Ω$ een verzameling, universum genaamd, en zij $2 Ω$ de machtsverzameling van $Ω$ . Een familie $\mathcal{A}\subset2^{\Omega}$ van deelverzamelingen van $Ω$ is een een algebra van verzamelingen over $Ω$ als hij voldoet aan de volgende eigenschappen:

$\Omega\in\mathcal{A}$
$\forall X\in\mathcal{A}:X^C=\Omega\setminus X\in\mathcal{A}$
$\forall X,Y\in\mathcal{A}:X\cup Y\in\mathcal{A}$

De elementen van $\mathcal{A}$ heten soms de gebeurtenissen van de algebra.

[bewerk] Verband met Booleaanse algebra

De bewerkingen OF, EN en NIET uit de Booleaanse algebra komen overeen met de verzameling-theoretische bewerkingen doorsnede, vereniging en complement. De elementen van $Ω$ zijn alle mogelijke werelden die we ons kunnen voorstellen. De elementen van $\mathcal{A}$ zijn gebeurtenissen die al dan niet waar kunnen zijn. Een gebeurtenis $X$ doet zich voor in wereld $x$ als $x\in X$ .

[bewerk] Verband met ringtheorie

Een algebra van verzamelingen is een commutatieve ring met eenheidselement voor de bewerkingen $\oplus$ en $\cap$ (doorsnede). De bewerking $\oplus$ is gedefinieerd als

$X\oplus Y=(X\setminus Y)\cup(Y\setminus X)=((X^C\cup Y^C)^C\cup(X\cup Y)^C)^C$

Dit is een Boole-ring in de zin dat het product van elk element met zichzelf, opnieuw datzelfde element oplevert:

$\forall X\in\mathcal{A}:X\cap X=X$

Verder kan deze ring worden opgevat als een associatieve algebra over het commutatieve lichaam $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\overline 0,\overline 1\}$ (de restklassen modulo 2) met als scalaire vermenigvuldiging:

$\overline0.X=\emptyset$

$\overline1.X=X$

[bewerk] Verband met kansrekening

Algebra's van verzamelingen kunnen in principe gebruikt worden als basis voor de kansrekening. De kans van een gebeurtenis is een getal tussen 0 en 1 dat met een element van $\mathcal{A}$ geassocieerd wordt.

In de wiskundige praktijk zal men meestal een bijkomende eis opleggen aan $\mathcal{A}$ , namelijk dat de unie van een oneindige rij gebeurtenissen opnieuw een gebeurtenis is:

$\forall X_1,X_2,X_3,\ldots\in\mathcal{A}:X_1\cup X_2\cup X_3\cup\ldots\in\mathcal{A}$