Kansrekening

Van Wikipedia

Wikibooks heeft een cursus over dit onderwerp:

Discrete Kansrekening

Kansrekening is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met situaties waarin het toeval een rol speelt, met als gevolg dat er geen zekerheid is over allerlei uitkomsten. Kansrekening is ontstaan vanuit de maatschappelijke behoefte om zo effectief mogelijk om te gaan met onzekerheden. Zie ook: Geschiedenis van de kansrekening. De kansrekening tracht mathematische hulpmiddelen aan te reiken aan een zeer breed scala van maatschappelijke activiteiten en wetenschappen, om binnen een omgeving met onzekerheden toch gefundeerde keuzes te kunnen maken of conclusies te kunnen trekken. Als zodanig is kansrekening een belangrijk hulpmiddel in de statistiek. Inmiddels is kansrekening een sterk ontwikkelde tak van de wiskunde, met een groot aantal deelgebieden.

Het definitiekader wordt aangegeven door de axioma's van de kansrekening.

Kernbegrippen binnen de kansrekening zijn de stochastische variabele en de direct daarmee samenhangende kansverdeling. Andere belangrijke begrippen binnen de kansrekening en statistiek zijn verwachting en variantie.

Kansrekening is een belangrijk hulpmiddel in steekproeftheorie, statistiek en informatietheorie, met toepassingen in onder andere de natuurkunde, biologie, sociologie, psychologie en economie.

Verdere achtergrond en onderbouwing van de axioma's van de kansrekening wordt gegeven in de maattheorie, die zich bezighoudt met het begrip 'maat', dat behalve in de kansrekening ook wordt toegepast in de integraalrekening.

Een deelgebied van de kansrekening is de Bayesiaanse kansrekening.

[bewerk] Theorie

In een situatie waarin het toeval een rol speelt zal tevoren vaak niet bekend zijn wat de uitkomst van een waarneming of meting is. Wel kan meestal aangegeven worden wat de mogelijke uitkomsten zijn. Welk ogenaantal boven zal komen bij een worp met een dobbelsteen, weten we tevoren niet - dat is ook juist de bedoeling - maar we weten wel dat er slechts de mogelijkheden 1 tot en met 6 zijn. De verzameling van de mogelijke uitkomsten van zo'n toevalsexperiment wordt 'uitkomstenruimte' (of 'uitkomstenverzameling') genoemd en veelal aangeduid met Ω. Behalve de vraag welke uitkomst de worp met de dobbelsteen heeft, is er ook behoefte om vragen als "Is de uitkomst een even ogenaantal?" of "Heb je meer dan 4 gegooid?" te beantwoorden. Deze vragen hebben betrekking op meer dan een uitkomst, de eerste op de uitkomsten 2, 4 en 6, en de tweede op de uitkomsten 5 en 6. Het resultaat 'even uitkomst' en evenzo 'meer ogen dan 4' wordt een gebeurtenis genoemd en voorgesteld door resp. de deelverzamelingen {2,4,6} en {5,6} van de uitkomstenruimte. Omdat niet alle uitkomstenruimten zo eenvoudig zijn als bij de dobbelsteen, blijken niet altijd alle deelverzamelingen van een uitkomstenruimte als gebeurtenis toegelaten te zijn. Daarom wordt apart aangegeven wat de verzameling is van deelverzamelingen die wel 'geschikt' zijn als gebeurtenis. Om rekentechnische reden worden zekere eisen gesteld aan deze verzameling van gebeurtenissen. Is bij de (eerlijke) dobbelsteen eenvoudig te zien hoe we het begrip 'kans' moeten introduceren, immers alle uitkomsten zullen gelijke kans van optreden hebben en dus, omdat de totale kans op 1 (= 100%) is genormeerd, kans 1/6 hebben. Het spreekt daarna voor zich hoe de kans op een gebeurtenis bepaald moet worden. Omdat uitkomstenruimten lang niet altijd zo eenvoudig zijn als bij de dobbelsteen en ook niet alle uitkomsten even waarschijnlijk hoeven te zijn, wordt het begrip kans axiomatisch ingevoerd. Daarvoor wordt het begrip relatieve frequentie als model gebruikt. De kans, aangeduid met Pr of 'P', zal aan een gebeurtenis de kans van optreden Pr(A) toekennen volgens een drietal vastgestelde regels. De begrippen: uitkomst, gebeurtenis en kans vormen de basis waarop de gehele kansrekening rust.

[bewerk] Kansen

De kans dat een gebeurtenis optreedt wordt weergegeven met een getal tussen 0 en 1. In werkelijkheid zijn er zeer weinig dingen die een kans 0 of 1 hebben. Men kan zeggen dat morgen in ieder geval de zon weer op komt, maar wat als een extreem onwaarschijnlijke gebeurtenis de zon zou vernietigen? Wat als er een kernoorlog uit zou breken en de lucht eeuwenlang bedekt is met as en rook? Vaak ronden we dit soort kansen af op 0 of 1, vanwege het onwaarschijnlijke karakter ervan.

Er zijn echter situaties waarin zeer kleine kansen gemakkelijk een verkeerde indruk wekken. De kans op een verkeersongeluk bij het oversteken van de weg kan 10^-6 of 10^-9 zijn. Op het eerste gezicht is het moeilijk hier verschil tussen te ervaren.
Wanneer we de weg echter 500.000 keer in ons leven over steken, geeft een kans van 10^-6 een redelijke kans op een ongeluk (hoewel iedereen een kans van 0,0001% als heel klein zal zien), terwijl deze kans bij 10^-9 alsnog verwaarloosbaar klein is.