Gesloten (algebra)

Van Wikipedia

In de algebra noemt men een lichaam (in België: veld) gesloten als elke veelterm van de $n$ -de graad ( $n > 1$ ) in één veranderlijke, met coëfficiënten in dat lichaam, kan ontbonden worden als een product van $n$ eerstegraadsveeltermen met coëfficiënten in dat lichaam.

Dit is gelijkwaardig met de volgende definitie.

[bewerk] Definitie

Zij $K$ een lichaam. Men noemt $K$ (algebraïsch) gesloten als elke niet-constante veelterm in $X$ met coëfficiënten in $K$ , een nulpunt heeft in $K$ . De term algebraïsch volledig treedt soms op als synoniem.

[bewerk] Polynomenring

Zelfs in het algemene (niet noodzakelijk gesloten) geval vormen de veeltermen in één veranderlijke $X$ met coëfficiënten in $K$ een associatieve algebra over $K$ en tegelijkertijd een commutatieve ring met eenheidselement 1. Deze ring heeft geen nuldelers (gehele ring). Men noteert hem $K [X]$

Een irreducibele veelterm is een niet-constante veelterm die niet deelbaar is door een niet-constante veelterm van lagere graad. Een veelterm van de eerste graad is per definitie irreducibel. Als een veelterm een nulpunt heeft in het getal $a\in K$ , dan is hij deelbaar door de veelterm $X - a$

Een lichaam is gesloten als en slechts als de enige irreducibele veeltermen in $K [X]$ de eerstegraadsveeltermen zijn.

[bewerk] Uitbreiding van een lichaam

Als $K$ niet gesloten is, en $P (X)$ is een irreducibele veelterm van graad $n > 1$ , dan kan $K$ altijd worden uitgebreid tot een groter lichaam $L$ zodat $P (X)$ als element van $L [X]$ een nulpunt heeft in $L$ . Er bestaat hiervoor zelfs een expliciete constructie. Ketens van deellichamen vormen het studiegebied van de Galoistheorie.

[bewerk] Voorbeelden

Het lichaam $\mathbb{C}$ der complexe getallen is algebraïsch gesloten; dit is de hoofdstelling van de algebra.

Het lichaam $\mathbb{R}$ der reële getallen is niet algebraïsch gesloten. De tweedegraadsveelterm $X 2 + 1$ heeft geen reële nulpunten. De complexe getallen vormen de kleinst mogelijke uitbreiding van de reële getallen waarin deze ene veelterm kan ontbonden worden.

Het lichaam $\mathbb{Q}$ der rationale getallen is zelfs in hoge mate onvolledig. Zo is bijvoorbeeld ook de tweedegraadsveelterm $X 2 - 2$ irreducibel - dit komt overeen met de vaststelling dat de vierkantswortel van 2 geen breuk is. De kleinste uitbreiding van $\mathbb{Q}$ waarin deze veelterm ontbonden wordt, noteert men soms $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ . Dit lichaam is nog steeds niet gesloten, maar $X 2 - 2$ kan ontbonden worden als $(X-\sqrt2)(X+\sqrt2)$

Het lichaam $\mathbb{A}$ der algebraïsche getallen is de kleinste uitbreiding van $\mathbb{Q}$ waarin alle veeltermen uit $\mathbb{Q}[X]$ ontbindbaar zijn (een dergelijke kleinste uitbreiding bestaat, als deellichaam van $\mathbb{C}$ , en is op lichaamsisomorfisme na uniek). Dit lichaam is op zijn beurt algebraïsch gesloten.

Categorie: Algebra

Gesloten (algebra)

Van Wikipedia

Inhoud

[bewerk] Definitie

[bewerk] Polynomenring

[bewerk] Uitbreiding van een lichaam

[bewerk] Voorbeelden

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken