Heron driehoek
Van Wikipedia
Een Heron driehoek is een driehoek waarvan alle zijden en de oppervlakte rationale getallen zijn. Hij is vernoemd naar Heron van Alexandrië.
[bewerk] Parametrisering
Een algemene parametrisering is gevonden door de Indische wiskundige Brahmagupta (598-668). Elke Heron driehoek is gelijkvormig met een driehoek verkregen door parametrisering
- a = u(v²+w²)
- b = v(u²+w²)
- c = (u+v)(uv-w²)
- Opp = uvw(u+v)(uv-w²)
waar a, b en c de lengtes van de zijden zijn, en u, v en w gehele getallen zijn.
Als deze getallen voldoen aan de eisen
- GGD(u,v,w)=1,
dan wordt iedere klasse van gelijkvormige driehoeken precies één keer gevonden.
[bewerk] Voorbeeld
Alle Pythagorese drietallen zijn zijden van een Heron driehoek.
[bewerk] Eigenschap
Een hoogtelijn in een Heron driehoek heeft een rationaal getal als lengte. Immers, oppervlakte en bijbehorende basis zijn ook rationale getallen. Mits hij binnen de driehoek ligt, verdeelt hij zelfs de Heron driehoek in twee rechthoekige Heron driehoeken, dus waarvan de zijden door schaling zijn om te vormen tot Pythagorese drietallen.
Kijken we in de figuur, dan weten we dat a, b+d, c en e rationaal zijn, en is het nog nodig te laten zien dat b en d rationaal zijn. Met de stelling van Pythagoras vinden we
- a2 + b2 = c2
en
- a2 + d2 = e2
en trekken we die twee vergelijkingen van elkaar af dan vinden we
- b2 − d2 = c2 − e2,
oftewel
Dus is b-d rationaal. Omdat b+d en b-d allebei rationaal zijn zijn b (som van deze gedeeld door 2) en d (verschil van deze gedeeld door 2) ook rationaal.