Pythagorese drietallen
Van Wikipedia
Drie positieve gehele getallen a, b, c met a2 + b2 = c2 worden een Pythagoreïsch triplet genoemd. De naam komt van de stelling van Pythagoras, welke stelt dat de som van de kwadraten van de lengtes van de twee rechte zijden van een rechthoekige driehoek gelijk is aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde (hypotenusa). Ook het omgekeerde hiervan is waar.
De vergelijking a2 + b2 = c2 kent een groot aantal oplossingen met a, b en c gehele getallen.
Bijvoorbeeld:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 6 | 8 | 10 |
| 7 | 24 | 25 |
| 8 | 15 | 17 |
| 9 | 12 | 15 |
Als (a,b,c) een Pythagoreïsch triplet is, dan is (da,db,dc) voor elk geheel getal d dit ook. Een Pythagoreïsch triplet wordt primitief genoemd als a, b en c geen deler gemeen hebben.
Voor alle m > n positieve gehele getallen geldt dat
- a = m2 - n2,
- b = 2mn,
- c = m2 + n2
samen een Pythagoreïsch triplet vormen. Het is primitief dan en slechts dan als m en n relatief priem zijn en een van hen een even getal is. (als zowel n als m oneven zijn, dan zijn a, b, en c allemaal even en is het triplet dus niet primitief).
Niet alle tripletten kunnen op deze wijze gegenereerd worden, maar wel alle primitieve tripletten. Dit laat tevens zien dat er oneindig veel primitieve Pythagoreïsche tripletten bestaan.
De laatste stelling van Fermat, geformuleerd door Pierre de Fermat, luidt dat er geen oplossingen bestaan van de vergelijking xn+yn=zn als n>2.
