Partiële integratie

Van Wikipedia

In de integraalrekening is partiële integratie een techniek om primitieve functies te bepalen en integralen op te lossen. De methode is vooral van toepassing wanneer de integrand geschreven kan worden als een product van twee afzonderlijke functies. De regel volgt uit de productregel voor afgeleiden.

Onderstel dat $f,g:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}$ twee differentieerbare functies zijn. Dan is

$\int_a^b {f\left( x \right)g'\left( x \right)dx} = \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]_a^b - \int_a^b {f'\left( x \right)g\left( x \right)dx}$

Dit is makkelijk aan te tonen door gebruik te maken van de productregel:

$\int_a^b {f\left( x \right)g'\left( x \right)dx} + \int_a^b {f'\left( x \right)g\left( x \right)dx} = \int_a^b {f\left( x \right)g'\left( x \right) + f'\left( x \right)g\left( x \right)dx} = \int_a^b {\left( {fg} \right)^\prime \left( x \right)dx} = \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]_a^b$

Voor de onbepaalde integraal kunnen we dit ook verkort als volgt noteren, vergeet echter niet dat zowel f als g afhankelijk zijn van x:

$\int {fdg = fg - \int {gdf} }$

Inhoud

1 Voorbeelden

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Voorbeeld 1

We proberen de onbepaalde integraal :

$\int x\cos (x) \,dx$

in gesloten vorm te vinden met behulp van partiële integratie. We vatten cos(x) op als de afgeleide van sin(x), dus:

$\int x\cos (x)\,dx =\int x\sin'(x)\ dx$

en kunnen nu gebruik maken van de bovengenoemde formule, met f(x)=x en g(x)=sin(x). Er volgt:

$\int x\cos (x)\,dx =\int x\sin'(x)\ dx = x\sin(x) - \int \sin(x)\ dx = x\sin(x) + \cos(x)+C$

[bewerk] Voorbeeld 2

In het vorige voorbeeld was een van de functies in het product f(x)=x, die als het ware verdwijnt. Partiële integratie is ook handig wanneer een positieve gehele macht van x in de integrand voorkomt in combinatie met bijvoorbeeld goniometrische of exponentiële functies, zoals in:

$\int x^3 e^x dx$ en $\int x^2 \sin(x)dx$

Herhaaldelijk toepassen van partiële integratie zal de macht van x telkens verlagen. De hoop is dan dat de resterende integraal gemakkelijk oplosbaar is.

$\int_0^\infty x^3 e^{-x} dx=-\int_0^\infty x^3 de^{-x} = -\left[x^3e^{-x}\right]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-x}dx^3 =$

$3\int_0^\infty x^2 e^{-x} dx=-3\int_0^\infty x^2 de^{-x} = -3\left[x^2e^{-x}\right]_0^\infty+3\int_0^\infty e^{-x}dx^2 =$

$3\cdot2\int_0^\infty x e^{-x} dx=-6\int_0^\infty x de^{-x} = -6\left[xe^{-x}\right]_0^\infty+6\int_0^\infty e^{-x}dx =6$

[bewerk] Voorbeeld 3

Een ander vaak voorkomende truc om sommige integralen op te lossen is de te integreren functie te beschouwen als een product van 1 met zichzelf. Dit kunnen we toepassen om de integraal van ln(x) te berekenen. We passen de regel rechtstreeks toe met f = ln(x) en dg = 1dx = dx:

$\int {\ln \left( x \right) \cdot 1dx = } x\ln \left( x \right) - \int {xd\left( {\ln \left( x \right)} \right)} = x\ln \left( x \right) - \int {x\frac{1} {x}dx }$ $= x\ln \left( x \right) - x + C = x\left( {\ln \left( x \right) - 1} \right) + C$

Categorie: Integraalrekening

Partiële integratie

Van Wikipedia

Inhoud

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Voorbeeld 1

[bewerk] Voorbeeld 2

[bewerk] Voorbeeld 3

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen