Stationair punt

Van Wikipedia

Een stationair punt van een functie is in de analyse een punt waar de afgeleide 0 wordt. Het betreft dan een top, een dal, of een buigpunt van de functie.

Uitgebreid naar functies in meerdere veranderlijken zijn dit de punten waar de gradiënt van de functie 0 wordt. In een driedimensionale ruimte spreekt men ook van een top of een dal, of een zadelpunt.

Inhoud

1 Formele beschrijving
2 Functies in één veranderlijke
- 2.1 Meetkundige interpretatie
- 2.2 Voorbeeld
3 Functies in twee veranderlijken
- 3.1 Meetkundige interpretatie
- 3.2 Voorbeeld
4 Zie ook

[bewerk] Formele beschrijving

Beschouw een differentieerbare functie $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ met $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$ . We zeggen dat a een stationair punt is van f als

$\nabla f\left( {\mathbf{a}} \right) = \operatorname{grad} f\left( {\mathbf{a}} \right) = {\mathbf{0}} \Leftrightarrow \frac{{\partial f}}{{\partial x_i }}\left( {\mathbf{a}} \right) = 0\,\,\forall \,\,i = 1,2, \ldots ,n$

Voor functies in één veranderlijke $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vereenvoudigt zich dit tot de voorwaarde $f'\left( a \right) = 0$

[bewerk] Functies in één veranderlijke

[bewerk] Meetkundige interpretatie

In de stationaire punten van f(x) is de raaklijn aan de grafiek steeds horizontaal, dus evenwijdig met de x-as.

Een stationair punt is dan altijd een extremum of een buigpunt.

Grafiek van de functie
f(x) = x³ - 3x

[bewerk] Voorbeeld

We zoeken de stationaire punten van de functie

$f \left( x \right) = x^3 - 3x$

We bepalen eerst de afgeleide van f

$f'\left( x \right) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$

We stellen de afgeleide gelijk aan 0 en lossen op naar x

$3(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\, \vee \,\,x = - 1$

We vinden twee stationaire punten, namelijk op x = 1 (rood) en op x = -1 (blauw). Om de aard van stationaire punten na te gaan is verder onderzoek nodig. Dit komt in aan bod in extreme waarden. Hier zijn de stationaire punten respectievelijk een minimum en een maximum. Op de grafiek (rechts) is duidelijk te zien dat de (groene) raaklijnen in deze punten horizontaal zijn, evenwijdig met de x-as.

[bewerk] Functies in twee veranderlijken

[bewerk] Meetkundige interpretatie

Grafiek van de functief(x,y) = - ( x2 + y2 )

Grafiek van de functie
f(x,y) = - ( x² + y² )

In de stationaire punten van f(x,y) is het raakvlak aan de grafiek steeds horizontaal, dus evenwijdig met het xy-vlak. Een stationair punt is mogelijk een extremum, maar kan ook ingewikkelder van aard zijn zoals een zadelpunt.

[bewerk] Voorbeeld

We zoeken de stationaire punten van het oppervlak met vergelijking

$f \left( x,y \right) = -(x^2 + y^2)$

We bepalen eerst de gradiënt van f en gaan na voor welke punten deze 0 is

$\nabla f\left( {x,y} \right) = {\mathbf{0}} \Leftrightarrow \left( { - 2x, - 2y} \right) = \left( {0,0} \right) \Leftrightarrow x = 0\,\, \wedge \,\,y = 0$

We vinden één stationair punt, namelijk (0,0). Op extreme waarden is te lezen hoe we de aard hiervan kan bepalen, hier hebben we te maken met een maximum. In het rode punt op de grafiek (rechts) is het raakvlak horizontaal, dus evenwijdig met het xy-vlak.

De verkregen figuur is een elliptische paraboloïde.

[bewerk] Zie ook

Categorie: Analyse

Stationair punt

Van Wikipedia

Inhoud

[bewerk] Formele beschrijving

[bewerk] Functies in één veranderlijke

[bewerk] Meetkundige interpretatie

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Functies in twee veranderlijken

[bewerk] Meetkundige interpretatie

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Zie ook

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen