Ekstremum
Z Wikipedii
Ekstremum globalne funkcji to taki punkt, w którym wartość funkcji jest większa (maksimum globalne) lub mniejsza (minimum globalne) niż we wszystkich innych punktach.
Ekstremum lokalne (lub po prostu ekstremum) to taki punkt x, w którym funkcja ma wartość większą (maksimum lokalne) lub odpowiednio mniejszą (minimum lokalne) od wszystkich innych punktów w pewnym otoczeniu punktu x. Na przykład funkcja f(x) = x3 + x2 − x, określona na zbiorze liczb rzeczywistych, ma dwa ekstrema lokalne - jedno minimum i jedno maksimum, nie ma jednak ekstremum globalnego. Poniżej fragment jej wykresu dla -2≤x≤2 :
Każde ekstremum globalne jest jednocześnie ekstremum lokalnym. Maksimum globalne to to spośród maksimów lokalnych, dla którego funkcja przyjmuje największą wartość. Podobnie minimum globalne to to spośród minimów lokalnych, dla którego funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. Dana funkcja może mieć tylko jedno minimum globalne i tylko jedno maksimum globalne (lub nie mieć żadnego), natomiast dowolnie wiele ekstremów lokalnych.
[edytuj] Ekstrema lokalne a pochodna funkcji
Jeśli funkcja ma w jakimś punkcie lokalne ekstremum oraz obustronną pochodną, jej pochodna ma w tym punkcie wartość zero.
Powyższy fakt został zaobserwowany przez Fermata i jest warunkiem koniecznym dla istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej w danym punkcie. Punkt, w którym pochodna funkcji jest równa zero nazywamy punktem stacjonarnym.
Nie jest to jednak warunek wystarczający: funkcja f(x) = x3 ma w punkcie zero pochodną równą zeru, nie ma natomiast w tym miejscu (ani w żadnym innym) ekstremum.
Aby w danym punkcie występowało lokalne ekstremum, dodatkowo
- dla maksimum (pochodna maleje):
- w lewym sąsiedztwie punktu wartość pochodnej musi być większa od zera,
- w prawym sąsiedztwie od punktu wartość pochodnej musi być mniejsza od zera;
- dla minimum (pochodna rośnie):
- w lewym sąsiedztwie punktu wartość pochodnej musi być mniejsza od zera,
- w prawym sąsiedztwie punktu wartość pochodnej musi być większa od zera.
Jeśli funkcja w danym punkcie nie ma pochodnej, punkt ten może, lecz nie musi być jej ekstremum. Na przykład wartość bezwzględna ma minimum w punkcie zero, nie ma natomiast w tym punkcie obustronnej pochodnej.
Jeśli pochodna funkcji f(x) w punkcie x0 wynosi zero, to jeśli druga pochodnaf''(x) = (f'(x))' jest:
- większa od zera, to f(x) w punkcie x0 ma minimum lokalne,
- mniejsza od zera, to f(x) w punkcie x0 ma maksimum lokalne,
- równa zeru, to f(x) w punkcie x0 ma punkt przegięcia.
