Stelling van Liouville
Van Wikipedia
Volgens de stelling van Liouville is elke begrensde complexe analytische functie constant. Dit betekent: Als voor een holomorfe functie f een reëel getal M bestaat zo dat |f(z)| ≤ M voor elke z in C, dan is f een constante functie.
De stelling van Liouville laat zien hoe sterk de voorwaarde dat een functie holomorf (differentieerbaar) is wel niet is. De stelling kan onder andere worden gebruikt voor een kort elegant bewijs van de hoofdstelling van de algebra. De stelling is vernoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville (1809-1882).
[bewerk] Bewijs
De functie f, kan worden ontwikkeld in een Taylorreeks:
De coëfficiënten ak zijn te vinden met een padintegraal:
Hier is Cr de cirkel rond 0 met straal r. Door de absolute waarde te nemen en in de integraal te zetten vinden we:
Nu kunnen we gebruiken dat |f(z)| ≤ M voor elke z (f is begrensd), en dat |z|=r op Cr. Dit geeft
Aangezien dit geldt voor elke cirkel Cr, ongeacht de straal, volgt automatisch dat ak gelijk moet zijn aan 0. De enige uitzondering is k=0 (r0 = 1) zodat a0 de enige term is die overblijft uit de Taylorreeks.
