Tripolaire coördinaten
Van Wikipedia
Tripolaire coördinaten zijn coördinaten voor het platte vlak ten opzichte van een gegeven driehoek. De tripolaire coördinaten van een punt P worden gevormd door het tripel (AP, BP, CP). Toepassing van tripolaire coördinaten is ongebruikelijk, zie echter dit artikel in Forum Geometricorum (en) .
[bewerk] Relatie met lengtes zijden
Leonhard Euler heeft de volgende relatie aangetoond tussen tripolaire coördinaten (f, g, h) van een punt en de lengtes van de zijden a, b en c:
( − a2 + g2 + h2)2f2 + (f2 − b2 + h2)2g2 + (f2 + g2 + c2)2h2 − ( − a2 + g2 + h2)(f2 − b2 + h2)(f2 + g2 + c2) − 4f2g2h2 = 0.
[bewerk] Cirkels en lijnen
De vergelijking lf2 + mg2 + nh2 + p = 0, is een lijn als l+m+n= 0 en anders een cirkel.
- Als de vergelijking een cirkel is, dan heeft het middelpunt van de cirkel barycentrische coördinaten (l : m : n).
- Als de vergelijking een lijn is, dan staat deze lijn loodrecht op de lijn [l:m:n] in barycentrische coördinaten.
[bewerk] Gegeven verhouding
Het aantal punten dat tripolaire coördnaten (f, g, h) heeft die voldoen aan een gegeven verhouding f : g : h = x : y : z, is afhankelijk van of de getallen ax, by en cz:
- De zijden vormen van een driehoek, dan zijn er twee dergelijke punten;
- De zijden vormen van een ontaarde driehoek, dan is er één zo'n punt;
- Niet de zijden vormen van een driehoek, dan zijn er geen punten die aan de voorwaarde voldoen.
