Roterande referansesystem

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket

Eit roterande referansesystem er eit koordinatsystem som roterar relativt til eit tregleikssystem. Eit daglegdags døme på eit roterande referansesystem er overflata på Jorda.

Innhaldsliste

1 Fiktive krefter
2 Forhold mellom posisjonar i to referansesystem
3 Generell utleiing i eit roterande referansesystem
4 Forhold mellom snøggleik i dei to referansesystema
- 4.1 Prov av likninga
5 Forhold mellom akselerasjon i dei to systema

[endre] Fiktive krefter

Alle ikkje-tregleikssystem innehar fiktive krefter. Roterande referansesystem er karakterisert av tre fiktive krefter:

sentrifugalkrafta
corioliskrafta

og for ikkje-uniforme roterande referansesystem

eulerkrafta.

Forskarar på eit slikt roterande referansesystem kan måle farten og retninga til rotasjonen sin ved å måle desse fiktive kreftene. T.d kunne Léon Foucault vise corioliskrafta som kjem av jordrotasjonen ved å bruke Foucaultpendelen. Viss Jorda plutseleg byrja å rotere tusen gangar raskare (slik at kvar dag berre var om lag 86 sekund lang), ville folk lette ha merka dei fiktive kreftene som dreg i dei, akkurat som på ein spinnande karusell.

[endre] Forhold mellom posisjonar i to referansesystem

For å utleie desse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere likningane mellom koordinatane $\left( x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime} \right)$ i det roterande referansesystemet og koordinatane $\left( x, y, z \right)$ i eit tregleikssystem med same opphav. Viss rotasjonen er om $z$ -aksen med vinkelfarten $ω$ og dei to referansesystema samsvarar ved tida $t = 0$ , så kan transformasjonen frå dei roterande koordinatane til tregleikskoordinatane skrivast:

$x = x^{\prime}\ \cos\omega t + y^{\prime}\ \sin\omega t$

$y = y^{\prime}\ \cos\omega t - x^{\prime}\ \sin\omega t$

og den reverse transformasjonen er

$x^{\prime} = x\ \cos\left(-\omega t\right) - y\ \sin\left( -\omega t \right)$

$y^{\prime} = y\ \cos\left( -\omega t \right) + x\ \sin\left( -\omega t \right)$

Dette resultatet får ein ved å bruke ei roasjonsmatrise.

[endre] Generell utleiing i eit roterande referansesystem

Visst vi har einingsvektorane $i, j, k$ til å representere dei tredimensjonale vektorane, kan vi la desse rotere fordi dei vil bli verande normalisert. Viss vi lar dei rotere med farten $ω$ så vert kvar einingsvektor styrt av likninga:

$\frac{dl}{dt}=\omega \times l$ ,

der $l = {i, j, k}$ . Så viss vi då har ein funksjon , $f (t) = f x (t) i + f y (t) j + f z (t) k$ og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

$\frac{df}{dt}=\frac{df_x}{dt}i+\frac{di}{dt}f_x+\frac{df_y}{dt}j+\frac{dj}{dt}f_y+\frac{df_z}{dt}k+\frac{dk}{dt}f_z$

$\frac{df}{dt}=\frac{df_x}{dt}i+\frac{df_y}{dt}j+\frac{df_z}{dt}k+[\omega \times (f_x i + f_y j+f_z k)]$

$\frac{\delta f}{\delta t}+\omega\times f(t)$

Der $\frac{\delta}{\delta t}$ er endringsraten med omsyn på det roterande koordinatsystemet. Det vil sei at viss $f (t)$ roterar med same fart som einingsvektorane ( $ω$ ) så er $\frac{\delta f}{\delta t}=0$ .

[endre] Forhold mellom snøggleik i dei to referansesystema

Snøggleiken til ein lekam er den tidsderiverte av posisjonen til lekamen eller

$\mathbf{v} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{d\mathbf{r}}{dt}$

Den tidsderiverte til posisjonen i eit roterande referansesystem har to komponentar, ein frå den tidsderiverte i tregleikssystemet, og ein anna frå sin eigen rotasjon. Forholdet mellom desse har ein i likninga

$\left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{tregleik}} = \left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{roterande}} + \boldsymbol\omega \times$

der vektoren $\boldsymbol\omega$ peikar i same retning som rotasjonsaksen med same storleik som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom snøggleiken i dei to referansesystema:

$\mathbf{v}_{\mathrm{tregleik}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{tregleik}} = \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{roterande}} + \boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = \mathbf{v}_{\mathrm{roterande}} + \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}$

[endre] Prov av likninga

La oss tenkje oss ein vektor a_tregleik i tregleikssystemet, og a_roterande er den same vektoren i det roterande referansesystemet. P_t er posisjonen til vektoren a ved tida t i tregleikssystemet, Q ere it punkt som har same startposisjon som P₀ (Q₀ = P₀) og roterar i forhold til tregleikssystemet som om det var stasjonært på det roterande systemet. .

Etter ei svært kort tid δ t, har vi at vektoren Q₀ Q_{δ t} er

$\boldsymbol\omega \times \mathbf {a}_{\mathrm{tregleik}} \cdot \delta t$

ved å bruke nokre enkle vektoroperasjonar har vi

$\overline{P_0 P_{\delta t}} = \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} = \overline{P_0 Q_{\delta t}} + \overline{Q_{\delta t} P_{\delta t}} = \overline{Q_0 Q_{\delta t}} + \overline{Q_{\delta t} P_{\delta t}} = \boldsymbol\omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} \cdot \delta t + \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}}$

deriverar vi på tid får vi

$\mathbf{\dot a}_{\mathrm{tregleik}} = \boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} + \mathbf{\dot a}_{\mathrm{rotasjon}}$

og ser at

$\boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} = \boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}}$

[endre] Forhold mellom akselerasjon i dei to systema

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av snøggleik

$\mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left( \frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}\right)_{\mathrm{tregleik}} = \left( \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right)_{\mathrm{tregleik}} = \left[ \left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{rotasjon}} + \boldsymbol\omega \times \right] \left[ \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{rotasjon}} + \boldsymbol\omega \times \mathbf{r} \right]$

Ved å utføre deriveringa og omarrangere nokre av ledda får ein akselerasjonen i det roterande referansesystemet

$\mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} = \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} - 2 \boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{\mathrm{rotasjon}} - \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r}) - \frac{d\boldsymbol\omega}{dt} \times \mathbf{r}$

der $\mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left( \frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\mathrm{rotasjon}}$ er den tilsynelatande akselerasjonen i det roterande referansesystemet.

Dei tre ledda på høgre side kjem av dei fiktive kreftene i eit roterande referansesystem. Ved å bruke Newton si andre rørslelov $F = m a$ , får vi

corioliskrafta

$\mathbf{F}_{\mathrm{Coriolis}} = -2m \boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{\mathrm{rotasjon}}$

sentrifugalkrafta

$\mathbf{F}_{\mathrm{sentrifugal}} = -m\boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r})$

eulerkrafta

$\mathbf{F}_{\mathrm{Euler}} = -m\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} \times \mathbf{r}$

der $m$ er massen til lekamen desse tre fiktive kreftene virkar på.

Tregleiksakslerasjonen $\mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}}$ kan ein finne ut frå den totale fysiske krafta $\mathbf{F}_{\mathrm{tot}}$ (t.d. den totale krafta frå fysiske vekselverknadar som elektromagnetisme) og bruke Newton si andre rørslelov