Tilstandsrom-representasjon

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket

Tilstandsrom er ein matematisk representasjon av lineære system. Tilstandane til systemet vert representert med tilstandsvariablar som relater inngangs- og utgangs-signala med fyrste ordens differensiallignangar. For å forenkla notasjonen vert tilstandsvariablane og inngangs- og utgang-signala uttrykte med matrise-vektor notasjon. Dette fører til ein kompakt of oversiktleg representasjon, som er uavhengig av antal inn- og ut-gangar.

Tilstandsrom-representasjon kan nyttast både for lineære og ulineære system, med vilkårlege starttilstandar. Omgreper «tilstandsrom» viser til ein vektorrom, der tilstandsvariablane til systemet er representert ved aksane til rommet.

[endre] Tilstandsvariablar

Tilstandsrommodell

Når eit fysisk system vert representert på tilstandsvariaberform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande element i det fysiske systmet. Når elektriske system vert representeret på tilstandsromform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande element (spolar og kondensatorar) i det elektriske systemet. Tilsvarande, når eit mekanisk system er representert på tilstandsromform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande massar og fjører.

Tilsrandsvariablane må vera lineært uavhengige (ein tilstadsvariabel kan ikkje vera ein lineær kombinasjon av andre tilstandsvariablar). Det minste antal tilstandsvariablar, $N$ , som skal til for å representera eit system er som oftast lik orden til differensiallikninga som definerer systemet, eller til orden til nemnarpolynomet når systemet er representert på transferfunksjon-form, redusert til ein ekte brøk.

[endre] Lineære system

Den generelle representasjonen av lineære system, men $p$ inngangar, $q$ utgangar og $n$ tilstandsvariablar kan skrivast på forma:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$

der

$x(t) \in \mathbb{R}^n$ ,

$y(t) \in \mathbb{R}^q$ ,

$u(t) \in \mathbb{R}^p$ ,

$\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n$ ,

$\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p$ ,

$\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n$ ,

$\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p$ ,

$\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}$

$x(\cdot)$ er tilstandsvektoren,

$u(\cdot)$ er inngangsvektoren (eller kontrollvektoren),

$y(\cdot)$ er utgangsvektoren (eller observasjonsvektoren)

$A(\cdot)$ er systemmatrisa (òg kalla tilstandsoppdateringsmatrisa),

$B(\cdot)$ er inngangsmatrisa,

$C(\cdot)$ er utgangsmatrisa og

$D(\cdot)$ er direktekoplingsmatrisa.

I praksis er $D(\cdot)$ ofte ei nullmatrise og systemet har ikkje noko direkte kopling frå inngang til utgang.

I denne generelle representasjonen er alle matrisene tidsvarierande. Tidsvariabelen $t$ kan vera tids-kontinuerleg, $t \in \mathbb{R}$ , eller tids-diskret, $t \in \mathbb{Z}$ . I det siste tilfellet er $t = k T$ , der $T$ er sampelintervalet.

[endre] Systemtypar

Ulike system kan representerast på tilstandsromform:

Systemtype	Tilstandsrommodell
Tids-kontinuerleg tids-invariant	$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$ $\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)$
Tids-kontinuerleg tids-variant	$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)$ $\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t) \mathbf{u}(t)$
Tids-diskret tids-invariant	$\mathbf{x}(k+1) = A \mathbf{x}(k) + B \mathbf{u}(k)$ $\mathbf{y}(k) = C \mathbf{x}(k) + D \mathbf{u}(k)$
Tids-diskret tids-variant	$\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A}(k) \mathbf{x}(k) + \mathbf{B}(k) \mathbf{u}(k)$ $\mathbf{y}(k) = \mathbf{C}(k) \mathbf{x}(k) + \mathbf{D}(k) \mathbf{u}(k)$
Tids-kontinuerleg tids-invariant i Laplace-planet	$s \mathbf{X}(s) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s)$ $\mathbf{Y}(s) = C \mathbf{X}(s) + D \mathbf{U}(s)$
Tids-diskret tids-invariant i z-planet	$z \mathbf{X}(z) = A \mathbf{X}(z) + B \mathbf{U}(z)$ $\mathbf{Y}(z) = C \mathbf{X}(z) + D \mathbf{U}(z)$

I dei to siste tilfella har ein gått ut frå at starttilstanden til systemet er null: $\mathbf{x}(0) = 0$ .

[endre] Kontrolerbarheit og observerbarheit

Ein tidskontinuerleg tidsinvariant tilstandsrommodell er kontrollerbar om og berre om

$rank\begin{bmatrix}B& AB& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n$

Ein tidskontinuerleg tidsinvariant tilstandsrommodell er observerbar om og berre om

$rank\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n$

[endre] Transferfunksjon-representasjon

Transferfunksjonen til eit tidskontinuerleg tidsinvariant system

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$

kan finnast ved å Laplace-transformasjoon

$s\mathbf{X}(s) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s)$

$(s\mathbf{I} - A)\mathbf{X}(s) = B\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)$

Ein sett så uttrykket for $\mathbf{X}(s)$ inn i utgangslikninga (eller opservasjonslikninga):

$\mathbf{Y}(s) = C\mathbf{X}(s) + D\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{Y}(s) = C((s\mathbf{I} - A)^{-1}B(s) + D(s))\mathbf{U}(s)$

som gjev transferfunksjonen

$\mathbf{G}(s) = \frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{U}(s)} = C(s\mathbf{I} - A)^{-1}B + D$

Denne MIMO-transferfunksjonen har dimensjon $q x p$ og inneheld $q p$ SISO-transferfunskjonar, mellom dei $p$ inngangane og dei $q$ utgangane.

[endre] Stabilitet

Når ein studerer stabiliteten til eittidskontinuerleg tidsinvariant system er det enklast å representera det som ein faktorisert transferfunksjon:

$\textbf{G}(s) = k \frac{ (s - z_{1})(s - z_{2})(s - z_{3})\cdots}{ (s - p_{1})(s - p_{2})(s - p_{3})(s - p_{4})\cdots}$

Nemaren til tranferfunksjonen $G (s)$ er lik det karakteristiske polynomet til tilstandsmatrisa

λ(s) = | s I - A |

Røterne til dette polynomet (eigenverdiane) er polane til systemet. Om desse ligg på innsida av einingssirkelen i z-planet er systemet stabilt og om dei ligg på einingssirkelen er det marginalt stabilt. Om minst ein pol ligg på utsida av einingssirkelen er systemet ustabilt. Ein alternativ måte for å avgjera om systemet er stabilt er å nytta Lyapunov sitt stabilitetsteorem.

Nullpunkta til systemet (røterne til tellarpolynomet i transferfunksjonen) avgjer om systemet har minium-, maksimum-, eller blanda-fase, men nullpunkta påverkar ikkje stabiliteten til systemet.

Om det førekjem pol-nullpunkt-kanselleringar kan eit lineært system vera BIBO stabilt (Bounder Input Bounded Output) sjølv om det ikkje er internt stabilt.

[endre] Bibliografi

Chu, C.K. og Chen, G., Signal processing and systems theory: Selected topics, Springer-Verlag, 1992.
Kailath, T., Linear systems, Prentics-Hall, 1980.
Kuo, B,C,, Automatic contol systems, Prentice-Hall, 6. utg., 1991.
Ogata, K, Discrete control systems, Prentice-Hall, 1987.