Geometria euklidesowa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Geometria euklidesowa to klasyczna odmiana geometrii, w której spełniony jest tzw. postulat równoległości. Nazwa pochodzi od Euklidesa, który w swoim dziele Elementy z III w. p.n.e. podał jej aksjomaty. Była to tym samym pierwsza teoria aksjomatyczna w dziejach ludzkości.

Pierwotnie geometria euklidesowa była badana tylko na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowiej. Przez długi czas geometrię wiązano z istniejącym fizycznym światem, który miała opisywać, nie dopuszczano tym samym możliwości badania innych odmian geometrii. Dopiero w XIX wieku opracowano teorie geometrii nieeuklidesowych, stworzono też podstawy do opisu geometrycznego w wymiarach wyższych niż trzeci.

[edytuj] Systemy aksjomatyczne

W tradycyjnym ujęciu geometria euklidesowa przedstawiana jest jako system aksjomatyczny, w którym wszystkie twierdzenia muszą wynikać z ograniczonej liczby zdań przyjmowanych jako prawdziwe (aksjomatów).

W systemie podanym przez Euklidesa obok pięciu ogólnych stwierdzeń (nazwanych aksjomatami) dotyczących podstaw logicznych budowanej teorii, wyróżnionych zostało też pięć tzw. postulatów:

Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie.
Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi.
Wszystkie kąty proste są równe.
Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.

Piąty z postulatów, tzw. postulat równoległości, można też (dla geometrii dwuwymiarowej) sformułować następująco: „przez punkt nieleżący na danej prostej można poprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z daną prostą”. Nieoczywistość piątego postulatu prowadziła do licznych prób wyprowadzenia go z pozostałych czterech postulatów. W XIX w. udowodniono jednak, że jest to niemożliwe, gdyż postulat równoległości jest niezależny od pozostałych, a zastąpienie go przez stwierdzenie przeciwne doprowadziło do powstania teorii geometrii hiperbolicznej, a później też innych geometrii nieeuklidesowych.

W drugiej połowie XIX w. zauważono, że aksjomaty podane przez Euklidesa nie są wystarczające do udowodnienia prawdziwości lub fałszywości wszystkich zdań, które można wyrazić w języku tej teorii (tzn. system ten nie był zupełny). W 1882 r. niemiecki matematyk Moritz Pasch podał przykład takiego niedającego się udowodnić twierdzenia i włączył je do systemu jako kolejny aksjomat.

Kolejne rewizje systemu geometrii euklidesowej zostały uwieńczone w 1899 r. przez Davida Hilberta, który podał kompletny zestaw aksjomatów teorii udowadniając jednocześnie niesprzeczność tego systemu. Aksjomatyka Hilberta jest dziś podstawą większości aksjomatycznych ujęć geometrii euklidesowej.

Powstały również inne systemy geometrii euklidesowej, z których najbardziej znane to aksjomatyka Birkhoffa i aksjomatyka Tarskiego. System stworzony przez Alfreda Tarskiego miał na celu wykazanie rozstrzygalności geometrii euklidesowej; rozstrzygalność tego modelu została udowodniona przez Wandę Szmielew.

[edytuj] Podejście współczesne

Obecnie, zamiast aksjomatyzacji, częściej konstruuje się geometrię euklidesową na podstawie innych systemów aksjomatycznych, wykorzystując środki geometrii analitycznej. Stosując takie podejście dotychczasowe Euklidesowskie aksjomaty można udowodnić jako twierdzenia w tym modelu.

Typową konstrukcję geometrii euklidesowej rozpoczyna się od zdefiniowania zbioru punktów jako zbioru par liczb rzeczywistych $(x, y)$ . Mając dane dwa punkty $P = (x, y)$ i $Q = (z, t)$ można zdefiniować odległość między nimi wykorzystując następujący wzór:

$|PQ|=\sqrt{(x-z)^2+(y-t)^2}.\,$

Tym samym zdefiniowana została euklidesowa przestrzeń metryczna (zobacz: Przestrzeń euklidesowa). Wszystkie inne podstawowe pojęcia geometrii, takie jak prosta, kąt, okrąg, mogą być zdefiniowane przy pomocy zdefiniowanych wcześniej terminów punktu i odległości.