Przestrzeń metryczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwagi
- 1.2 Równoważność metryk
2 Uogólnienie
3 Metryki
4 Przestrzeń topologiczna
5 Pseudometryki
- 5.1 Przykład przestrzeni pseudometrycznej
6 Zobacz też

Przestrzeń metryczna – zbiór z wprowadzonym uogólnieniem pojęcia odległości dla jego elementów.

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową $d\colon X \times X \to \mathbb R$ , zwaną metryką lub odległością, spełniającą dla każdego $a, b, c \in X$ warunki:

$d(a, b) = 0 \iff a = b$
$d (a, b) = d (b, a)$
$d(a, b) \leq d(a, c) + d(c, b)$

Parę $(X, d)$ nazywamy wówczas przestrzenią metryczną.

Ponadto jeżeli zamiast warunku 3. spełniony jest warunek

d (a, b) < d (a, c) + d (c, b)

to funkcję tę nazywamy ultrametryką.

[edytuj] Uwagi

Pierwszy warunek bywa nazywany zwrotnością, drugi symetrycznością (odległość dwóch punktów nie zależy od tego od którego z nich zaczniemy mierzenie), trzeci zaś nosi nazwę nierówności trójkąta.

Z powyższych warunków wynika również $d(a, b) \ge 0$ :

$d(a, b) = \tfrac{1}{2}\left(d(a, b) + d(a, b)\right) = \tfrac{1}{2}\left(d(a, b) + d(b, a)\right) \ge \tfrac{1}{2}d(a, a) = 0$ ,

dlatego w wielu publikacjach można znaleźć funkcję metryki zdefiniowaną jako

$d\colon X \times X \to [0, \infty)$ .

W dowolnej przestrzeni unormowanej $(V, \|\cdot\|)$ metrykę generuje norma:

$d(x,y)=\|x-y\|,\;x,y\in V$ .

[edytuj] Równoważność metryk

Niech $(X, d 1),(X, d 2)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że metryki $d 1, d 2$ są równoważne, jeżeli istnieją $λ 1,λ 2 > 0$ , że dla każdego $a, b \in X$ spełniony jest warunek $\lambda_1d_1(a,b)\leq d_2(a,b)\leq \lambda_2d_1(a,b)$ .

Równoważność metryk oznacza, że jeśli pewien ciąg elementów zbioru $X$ jest zbieżny w sensie metryki $d 1$ , to jest także zbieżny w sensie metryki $d 2$ . W przestrzeni liniowej o skończonym (ustalonym) wymiarze wszystkie metryki są równoważne.

[edytuj] Uogólnienie

Przestrzeń metryczną należy więc rozumieć jako uogólnienie przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej).

Metryki można bowiem określać nie tylko na przestrzeniach euklidesowych, ale również na innych zbiorach (na przykład na zbiorze słów lub funkcji) lub na bardzo abstrakcyjnych przestrzeniach.

Wprowadzając pojęcie odległości (metrykę) możemy wprowadzić również pojęcie granicy ciągu bądź funkcji, a zatem możemy uprawiać na nich analizę matematyczną.

[edytuj] Metryki

[edytuj] Euklidesowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń euklidesowa.

Metryka euklidesowa – naturalna, „zwykła” odległość punktów na prostej, płaszczyźnie, czy też dowolnej euklidesowej przestrzeni $\mathbb R^n$

d e (x, y) = | x - y |

Ogólniej, niech $K$ będzie dowolnym ciałem, $x, y \in K^n$ oraz $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ , zaś $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ , wówczas

$d_e(x, y) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2 + \ldots + (y_n - x_n)^2}$

[edytuj] Kolejowa

Metryka kolejowa, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego – metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce jest sumą euklidesowych ich odległości od punktu $θ = (0,0)$ lub – w przypadku, kiedy prosta łącząca te punkty przechodzi przez punkt $θ$ – zwykła euklidesowa odległość.

Wyobraźmy sobie na przykład labirynt, którego korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście z jednego punktu. Wtedy, aby dojść z jednego punktu do drugiego, musimy najpierw dojść do skrzyżowania (centrum), by skręcić w odpowiedni korytarz. Nie będziemy więc pokonywać rzeczywistej odległości między tymi punktami, lecz właśnie taką, jaką dyktuje nam metryka centrum.

Można ją przedstawić jako

$d_k(x, y) = \begin{cases} d_e(x, \theta) + d_e(\theta, y), & \mbox{dla } x, y \mbox{ nie na jednej prostej} \\ d_e(x, y), & \mbox{w przeciwnym przypadku} \end{cases}$

[edytuj] Miasto

Zielona przekątna — odległość według metryki euklidesowej (ok. 8,48 j.)
Pozostałe krzywe — odległość według metryki miejskiej (dokładnie 12 j.)

Metryka Manhattan, miasto, Minkowskiego, taksówkowa, wielkomiejska – metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych.

Wyobraźmy sobie, że z jakichś powodów (kwadratowa sieć ulic przypominająca plan Manhattanu) możemy poruszać się jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe. Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka miasto.

Dla $x, y \in \mathbb R^2\; x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2)$ mamy

d m (x, y) = | y 1 - y 2 | + | x 1 - x 2 |

[edytuj] Dyskretna

Metryka dyskretna, zerojedynkowa – metryka na dowolnym zbiorze. Odległość między dowolnymi punktami wynosi 0, gdy są to same punkty oraz 1 w innym przypadku. Przestrzeń metryczną z tą metryką nazywamy przestrzenią metryczną dyskretną.

$d_d(x, y) = \begin{cases} 0, & \mbox{gdy }x = y \\ 1, & \mbox{gdy }x \ne y \end{cases}$

[edytuj] Nieskończoność

Metryka nieskończoność, maksimum, kwadratowa – metryka na płaszczyźnie zdefiniowana wzorem

$d_\infty(x, y) = \max\left(|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|\right)$ .

Ciekawą jej własnością jest to, że kulą w niej jest kwadrat.

[edytuj] Rzeka

Metryka rzeka – metryka na płaszczyźnie. Odległość pomiędzy dwoma punktami jest równa sumie ich odległości do prostej "rzeka" w rzutach prostych od tych punktów do "rzeki" pod kątem prostym.

Wyobraźmy sobie, że stoimy na ścieżce prostopadłej do rzeki w bardzo gęstym lesie. By pójść do osoby B musimy dojść do rzeki, pójść przy rzece, a następnie drugą ścieżką również prostopadłą do rzeki. Droga przez nas przebyta będzie równa długości ścieżek i trasie przebytej przy rzece.

Odległość w metryce rzeka.

d r (x, y) = | a | + | c | + | b |

[edytuj] Przestrzeń topologiczna

Każda przestrzeń metryczną $X$ generuje przestrzeń topologiczną. Bazę jej topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci $B(x, r) = \{y \in X\colon\; d(x,y) < r\}$ .

Inaczej mówiąc, zbiór $U \subseteq X$ jest otwarty, jeżeli wraz z każdym punktem $x \in U$ zawiera także pewną kulę otwartą $B (x, r)$ , której środkiem jest punkt $x$ .

[edytuj] Pseudometryki

Zastępując w definicji metryki warunek 1. warunkiem

1'. $\; d(a,a)=0$

definiujemy nową funkcję - pseudometrykę. Poprzez analogię możemy mówić o parze $(X, d)$ jako przestrzeni pseudometrycznej. W przestrzeniach liniowych pseudometrykę generuje półnorma. Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.

[edytuj] Przykład przestrzeni pseudometrycznej

Przestrzeń $\mathcal{F}(X)$ wszystkich funkcji $f\colon X \rightarrow \mathbb{R}$ z ustalonym punktem $x_0\in X$ . Możemy mówić o pseudometryce danej wzorem: