Hipoteza Pólya
Z Wikipedii
Hipoteza Pólya - matematyczna hipoteza mówiąca że większość (ponad 50%) liczb naturalnych ma nieparzystą liczbę czynników pierwszych. Została postawiona przez węgierskiego matematyka George Pólya w 1919 roku. W 1958 roku została obalona – pokazano że jest fałszywa.
[edytuj] Hipoteza
Hipoteza Pólya mówi że dla dowolnego n (>1), jeśli policzymy ile liczb naturalnych mniejszych od n ma parzystą liczbę czynników pierwszych a ile ma nieparzystą, to tych pierwszych nigdy nie będzie więcej niż drugich. (Powtórzone liczby pierwsze liczymy odpowiednią liczbę razy. Np. 24 = 23 * 31 ma 3+1 = 4 czynniki pierwsze.)
Równoważnie, przy użyciu funkcji Liouville'a, hipotezę tę można zapisać jako
dla wszystkich n, gdzie λ(k) = ( − 1)Ω(k) ma wartość +1 gdy liczba czynników pierwszych k jest parzysta, a -1 gdy jest nieparzysta.
[edytuj] Obalenie
Hipoteza Pólya została obalona przez C. B. Haselgrove w 1958 roku. Pokazał on że istnieje kontrprzykład, rozmiaru oszacowanego przez niego na 1,845 × 10361. Wielkość tego kontrprzykładu pokazuje niebezpieczeństwo opierania się na nawet bardzo daleko sięgających sprawdzeniach komputerowych.
Dokładny kontrprzykład równy n = 906180359 został podany przez R. S. Lehman w 1960 roku. Najmniejszy istniejący kontrprzykład, wynoszący n = 906150257, został pokazany przez Minoru Tanaka w 1980 roku.
[edytuj] Przypisy
- R.S. Lehman, On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
- M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, (1980) 187-189.
