Wikipedysta:Loxley/Całka zespolona

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Całkowanie zespolone to uogólnienie pojęcia całkowania w sensie Riemanna na funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej oraz zmiennej zespolonej.

Spis treści

1 Całka zwyczajna
- 1.1 Konstrukcja
- 1.2 Własności
2 Całka krzywoliniowa
- 2.1 Konstrukcja
- 2.2 Własności

[edytuj] Całka zwyczajna

[edytuj] Konstrukcja

Niech $f (t) = u (t) + i v (t)$ będzie funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej $t$ , określoną i ograniczoną w przedziałem domkniętym $[a, b]$ . Podzielmy przedział $[a, b]$ na $n$ części punktami $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$ . Obierzmy w każdym z przedziałów $[t j - 1, t j]$ dowolny punkt $θ j$ i utwórzmy sumę

$s_n=\sum_{j=1}^n f(\theta_j)(t_j-t_{j-1}),\quad n\in\mathbb{N}$

Jeśli granica $\lim_{n\to\infty}s_n$ istnieje oraz nie zależy od wyboru podziału $t j$ ani punktów $θ j$ , to oznaczamy ją

$\lim_{n\to\infty}s_n\colon =\int\limits_a^b f(t)dt$

i nazywamy całką zwyczajną funkcji $f (t)$ w przedziale $[a, b]$ .

[edytuj] Własności

Definicja ta nie różni się od definicji całki Riemanna funkcji rzeczywistej. Zachodzi więc:

Jednorodność i addytywność całki.
$\int\limits_a^bf(t)dt=-\int\limits_b^af(t)dt$
$\int\limits_a^af(t)dt=0$
Funkcja $f (t) = u (t) + i v (t)$ jest całkowalna w przedziale $[a, b]$ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje $u (t), v (t)$ są całkowalne. Zachodzi przy tym związek

$\int\limits_a^b f(t)dt=\int\limits_a^bu(t)dt+i\int\limits_a^bv(t)dt$

[edytuj] Całka krzywoliniowa

[edytuj] Konstrukcja

Niech $f (z)$ będzie funkcją zmiennej zespolonej $z$ , określonej wzdłuż krzywej $C$ , danej równaniem

z = z (t)

w przedziale

[a, b]

O krzywej $C$ będziemy zakładali, że jest gładka lub przedziałami gładka, a więc można określić długość.
Podzielmy krzywą na $n$ łuków punktami $z_j=z(t_j), j\in\{0,\ldots,n\}$ , gdzie $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$ i utwórzmy sumę

$I_n=\sum_{j=1}^nf(\xi_j)(z_j-z_{j-1})$

gdzie $ξ j$ jest dowolnym punktem łuku $z j - 1 z j$ , czyli $ξ j = z (θ j)$ , takich że $t_{j-1}\leq \theta_j\leq t_j$ . Jeśli

$\lim_{n\to\infty}I_n$ istnieje i wynosi $I$
długość nałdłuższego z przedziałów $[t j - 1, t j]$ dąży do zera
granica ta nie zależy od wyboru punktów $t j$ i $θ j$ , to ozaczamy ją

$I\colon =\int\limits_Cf(z)dz$

i nazywamy całką krzywoliniową funkcji $f (z)$ wzdłuż drogi $C$

[edytuj] Własności

Jeżeli funkcja $f (z)$ jest ciągła wzgłuż krzywej $C : z = z (t)$ , to całka $=\int\limits_Cf(z)dz$ istnieje i daje się wyrazić całką zwyczajną

$\int\limits_Cf(z)dz=\int\limits_a^bf\left(z(t)\right)z^{\prime}(t)dt$

Całka funkcji $f (z) = u (z) + i v (z)$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją całki krzywoliniowe rzeczywiste $\int\limits_C(udx-vdy)$ i $\int\limits_C(vdx+udy)$ . Zachodzi przy tym równość