Przedział (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Spis treści

1 Definicje formalne
2 Przykłady
3 Własności
4 Zobacz też

[edytuj] Definicje formalne

Niech $(X,\preccurlyeq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech $-\infty,\infty$ będą dwoma obiektami nie należącymi do $X$ . Rozszerzmy porządek $\preccurlyeq$ na $X\cup\{-\infty,\infty\}$ tak, by element $\infty$ był większy niż wszystkie punkty z $X$ , a element $-\infty$ mniejszy niż wszystkie punkty z $X$ .

Dla $x,y\in X\cup \{-\infty,\infty\}$ takich, że $x \prec y$ definujemy następujące zbiory nazywane przedziałami wyznaczonymi przez $x, y$ :

$(x,y)=:\{z\in X: x \prec z \prec y\}$ – otwartym,
$[x,y)=:\{z\in X: x \preccurlyeq z \prec y\}$ – lewostronnie domkniętym (prawostronnie otwartym),
$[x,y]=:\{z\in X: x\preccurlyeq z \preccurlyeq y\}$ – domkniętym (obustronnie),
$(x,y]=:\{z\in X: x\prec z \preccurlyeq y\}$ – prawostronnie domkniętym (lewostronnie otwartym).

Niektórzy autorzy używają oznaczeń $(x, y) X$ , $[x, y] X$ itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku. Czasami zamiast $[x, y]$ pisze się $\langle x,y\rangle$ i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy też zwrócić uwagę, że zarówno $(x, y)$ jak i $\langle x,y\rangle$ do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

[edytuj] Przykłady

Najczęście spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych:
- $(0,1)$ oznacza zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż $1$ ,
- $[2, e)$ – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych $2$ , ale mniejszych niż $e$ ,
- przedział nieskończony $(\pi,\infty)$ to zbiór wszystkich liczb większych niż $π$ .
Przedziały zależą od porządków w których są rozważane: $(-5,5)_{\mathbb Z}$ jest zbiorem skończonym (jest to ${ - 4, - 3, - 2, - 1,0,1,2,3,4}$ ) ale $(-5,5)_{\mathbb Q}$ jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od -5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział $(a, b]$ pomiędzy liczbami rzeczywistymi $a,b\in \mathbb R$ oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn $(a,b]_{\mathbb R}$ , podobnie dla innych przedziałów.
Rozważmy płaszczyznę $\mathbb R^2$ z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez $\langle x_1,y_1\rangle \prec \langle x_2,y_2\rangle \iff x_1\leq x_2$ i $y_1\leq y_2$ , gdzie relacja $\leq$ jest naturalnym porządkiem na prostej $\mathbb R$ . Wówczas przedział domknięty $\big[\langle 0,0\rangle,\langle1,1\rangle\big]_{{\mathbb R}^2}$ jest domkniętem kwadratem o wierzchołkach w $\langle 0,0\rangle,\langle0,1\rangle,\langle 1,0\rangle,\langle1,1\rangle$ , tzn. zbiorem $\left\{\langle x,y\rangle\in {\mathbb R}^2: 0\le x \le 1\ \and\ 0\le y\le 1\right\}$ .

[edytuj] Własności

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech $(X, \preccurlyeq)$ będzie porządkiem liniowym.

Przekrój dwóch przedziałów jest przedziałem.
Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem albo sumą dwóch przedziałów.
Suma dwóch przedziałow o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
Otwarte przedziały w $X$ tworzą bazę pewnej topologii na $X$ – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na $X$ albo topologią porządkową na $X$ .
Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na $\mathbb R$ . Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.