Pierścień Euklidesa
Z Wikipedii
Pierścieniem Euklidesa (dziedziną Euklidesa) nazywamy każdy taki pierścień całkowity R, że istnieje odwzorowanie 
ze zbioru niezerowych elementów R w zbiór liczb całkowitych dodatnich takie, że dla dowolnych 
istnieją 
takie, że a = bc + r i albo r = 0, albo h(r) < h(b).
Czasami dodatkowo przyjmuje się warunek 
dla 
.
[edytuj] Własności
Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem głównym.
Największy wspólny dzielnik dwóch niezerowych elementów pierścienia Euklidesa można odnaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa. Jeżeli R jest pierścieniem Euklidesa, , to możemy utworzyć ciąg równości:
taki, aby 
. Ciąg taki (jako malejący ciąg liczb całkowitych dodatnich) musi być skończony, zatem dla pewnego 
otrzymamy rk + 1 = 0. Dla najmniejszego takiego k prawdą jest, że rk jest największym wspólnym dzielnikiem elementów a,b pierścienia R. Zatem, jeśli potrafimy wyznaczyć 
, to możemy wyznaczyć największy wspólny dzielnik a i b.
[edytuj] Przykłady
Pierścieniami Euklidesa są na przykład:
- pierścień liczb całkowitych; widać, że funkcja h(x) = | x | spełnia warunki definicji,
- pierścień wielomianów nad dowolnym ciałem; określamy w warunkach definicji h(w(x)) jako stopień wielomianu w(x),
