Ciało (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ciało – niezerowy, nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny.

Spis treści

1 Definicja formalna
2 Podciało
- 2.1 Przykłady
3 Własności ciała
4 Przykłady
5 Bibliografia
6 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Ciało to struktura algebraiczna $K$ z dwoma działaniami, zwanymi dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi następujące aksjomaty:

zbiór $K$ z dodawaniem jest grupą abelową, gdzie element $0$ (tzw. zero) jest elementem neutralnym dodawania (nazywamy ją grupą addytywną ciała $K$ i oznaczamy $K +$ ),
zbiór z mnożeniem jest grupą, gdzie 1 (tzw. jedynka lub jedność) jest elementem neutralnym mnożenia (nazywamy ją grupą multiplikatywną ciała K i oznaczamy K ^* ),
- Ciała, dla których grupa ta jest abelowa, nazywa się ciałami przemiennymi.
zbiór $K$ jest co najmniej dwuelementowy (gdyż zawiera $0$ i $1$ - wynika to z istnienia grup addytywnej i multiplikatywnej),

mnożenie jest obustronnie rozdzielne względem dodawania tj. dla mamy:
- $a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
- $(b+c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$ .

[edytuj] Podciało

Niech $K$ będzie ciałem. Podciałem ciała $K$ nazywamy podpierścień $L$ ciała $K$ , który sam jest ciałem ze względu na działania z $K$ ograniczone do tego podzbioru. Ciało $K$ nazywamy rozszerzeniem ciała $L$ .

[edytuj] Przykłady

Zbiór liczb wymiernych jest podciałem ciała liczb rzeczywistych.
Zbiór liczb rzeczywistych jest podciałem ciała liczb zespolonych.
Ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb wymiernych i rzeczywistych.

[edytuj] Własności ciała

Każde ciało jest dziedziną całkowitości. Wynika to ze sposobu określenia ciała: ciało zawiera co najmniej dwa elementy oraz nie zawiera właściwych dzielników zera.

W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy ${0}$ i całe ciało $K$ . Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia. Ideał ten jest więc równy $K$ .