Pseudometryka
Z Wikipedii
|
Przestrzeń pseudometryczna – zbiór z wprowadzonym rozszerzeniem pojęcia metryki dla jego elementów.
[edytuj] Definicja
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową 
, zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego 
warunki:
- d(x,x) = 0
- d(x,y) = d(y,x)
Parę (X,d) nazywamy wówczas przestrzenią pseudometryczną.
[edytuj] Uwagi
Jedynie pierwszy warunek odróżnia pseudometrykę od metryki. Oznacza to, iż w przeciwieństwie do metryki, dopuszcza się istnienie zerowej odległości pomiędzy nie identycznymi obiektami.
W przestrzeniach liniowych pseudometrykę generuje półnorma. Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.
[edytuj] Przykład
Przestrzeń 
wszystkich funkcji 
z ustalonym punktem 
. Możemy mówić o pseudometryce danej wzorem:
.
Dla przykładu, niech 
. Wówczas 
, a funkcje sinus i tangens są przecież różne.
[edytuj] Topologia
Topologia względem pseudometryki generowana jest przez kule otwarte
,
które stanowią jej bazę. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna, jeśli istnieje pseudometryka taka, że topologia względem tej pseudometryki pokrywa się z daną topologią.
