Różniczka

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Geneza pojęcia
2 Definicja
- 2.1 Warunki równoważne różniczkowalności
- 2.2 Różniczka funkcji rzeczywistej
3 Twierdzenie o różniczkowaniu złożenia
- 3.1 Wniosek (różniczka kombinacji liniowej)
- 3.2 Twierdzenie o różniczkowaniu złożenia funkcji rzeczywistych
4 Przykład zastosowania różniczek
5 Zobacz też

Różniczka (Frécheta) funkcji w danym punkcie - odwzorowanie liniowe i ciągłe, lokalnie przybliżające wartości funkcji w otoczeniu tego punktu. Dla funkcji określonych na prostej rzeczywistej, różniczka ściśle związana jest z pojęciem pochodnej funkcji, jednak różniczki mogą być określone także dla funkcji działających na otwartych podzbiorach dowolnych przestrzeni unormowanych o wartościach w innych (dowolnych) przestrzeniach unormowanych.

[edytuj] Geneza pojęcia

Wprowadzenie pojęcia różniczki funkcji rzeczywistej umożliwiło zastąpienie obiektu złożonego (funkcji), czymś zupełnie podstawowym - funkcją liniową (a dokładniej homotetią). Twórca pojęcia różniczki, Gottfried Wilhelm Leibniz, wprowadził je z pełnym rozmysłem, w oparciu o potrzebę lokalnego przybliżania wartości funkcji, celem użycia metod, dobrze znanej, algebry liniowej.

Abstrakcyjna definicja różniczki funkcji w dowolnych przestrzeniach unormowanych została wprowadzona jako uogólnienie definicji różniczki funkcji rzeczywistej. Jest ona podstawowym pojęciem rachunku wariacyjnego.

[edytuj] Definicja

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami unormowanymi, $L (X; Y)$ będzie zbiorem wszystkich odwzorowań liniowych i ciągłych z $X$ do $Y$ oraz niech $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ .
Mówimy, że funkcja $F\colon D\to Y$ jest różniczkowalna w $x_0\in D$ jeśli istnieje $A\in L(X;Y)$ , że

$\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)-A(h)}{\|h\|}=0$ (D).

[edytuj] Warunki równoważne różniczkowalności

Innymi słowy, $F$ jest różniczkowalna w $x 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $A\in L(X;Y)$ oraz funkcja $r_F(x_0, \cdot)\colon D-x_0\to Y$ spełniająca warunki:

$F (x 0 + h) - F (x 0) = A (h) + r F (x 0, h)$
$\lim_{h\to 0}\frac{r_F(x_0,h)}{\|h\|}=0$

Jeszcze inaczej, $F$ jest różniczkowalna w $x 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $A\in L(X;Y)$ oraz funkcja $\varepsilon_F(x_0, \cdot)\colon D-x_0 \to Y$ , która jest ciągła w 0, że

$F(x_0+h)-F(x_0)=A(h)+\varepsilon_F(x_0, h)\cdot \|h\|$

Jeśli $F$ jest różniczkowalna w $x_0\in D$ , to istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie liniowe ciągłe, że spełniona jest pierwsza równość (D) - nazywamy je różniczką Frécheta funkcji $F$ w punkcie $x 0$ i oznaczamy $d F (x 0)$ .

Uwaga: Jeżeli $F$ jest różniczkowalna w $x 0$ to jest ciągła w $x 0$ . Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.

[edytuj] Różniczka funkcji rzeczywistej

Niech $f$ będzie funkcją określoną na pewnym przedziale otwartym $P$ o wartościach rzeczywistych. Funkcja ta jest różniczkowalna w $x_0\in P$ w sensie Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jej pochodna w tym punkcie. Wówczas dla każdego $t\in\mathbb{R}$

$df(x_0)(t)=f^{\prime}(x_0)\cdot t$

[edytuj] Twierdzenie o różniczkowaniu złożenia

Niech $X, Y, Z$ będą przestrzeniami unormowanymi, $D, E$ będą niepustymi, otwartymi podzbiorami odpowiednio: $X, Y$ oraz dane będą funkcje $f\colon D\to Y, g\colon E\to Z$ , że $f(D)\subset E$ . Jeśli $f$ jest różniczkowalna w $x_0\in D$ , to $g\circ f$ jest różniczkowalna w $f (x 0)$ oraz

$d(g\circ f)(x_0)=dg(f(x_0))\circ df(x_0)$

[edytuj] Wniosek (różniczka kombinacji liniowej)

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R,C}\}$ , $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ oraz funkcje $f,g\colon D\to Y$ będą różniczkowalne w $x_0\in D$ . Wówczas, dla wszelkich $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ funkcja $α f + β g$ jest różniczkowalna w $x 0$ i

d (α f + β g)(x 0) = α d f (x 0) + β d g (x 0)

[edytuj] Twierdzenie o różniczkowaniu złożenia funkcji rzeczywistych

Niech $D, E$ będą niepustymi, otwartymi podzbiorami $\mathbb{R}$ oraz dane będą funkcje $f\colon D\to \mathbb{R}, g\colon E\to \mathbb{R}$ , że $f(D)\subset E$ . Jeśli $f$ jest różniczkowalna w $x 0$ , to $g\circ f$ jest różniczkowalna w $f (x 0)$ oraz dla odwzorowań:

$L_1\colon t\mapsto f^{\prime}(x_0)t$

$L_2\colon s\mapsto g^{\prime}(f(x_0))s$

prawdziwa jest równość:

$(L_2\circ L_1)(s)=L_2(L_1(s))=g^{\prime}(f(x_0))(L_1(s))=g^{\prime}(f(x_0))f^{\prime}(x_0)s$

[edytuj] Przykład zastosowania różniczek

Zastosowanie numeryczne: korzystając z rachunku różniczkowego można w dość szybki sposób obliczać wartości skomplikowanych wyrażeń. Na przykład, przybliżoną wartość wyrażenia $w=\frac{(2,03)^4}{(3,998)^2}$ :

Rozważmy funkcję $f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ daną wzorem $f(x,y)=\frac{x^4}{y^2}$ .
$f(x_0+h_1, y_0+h_2)\approx f(x_0,y_0)+df(x_0,y_0)(h_1, h_2),\; h=(h_1,h_2)$
$(x 0, y 0) = (2,4)$ ,
$(h 1, h 2) = (0,03, - 0,002)$
$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4\frac{x^3}{y^2},\; \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2\frac{x^4}{y^3}$
I ostatecznie:
$\begin{array}{c c l}w&\approx & f(2,4)+\frac{\partial f}{\partial x}(2,4)\cdot 0,03+\frac{\partial f}{\partial y}(2,4)\cdot (-0,002) \\ & = & 1+2\cdot 0,03+(-\frac{1}{2})\cdot (-0,002) \\ & = & 1+0,06+0,001=1,061\end{array}$ .