Równanie Kleina-Gordona

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Równanie Kleina-Gordona jest relatywistyczną wersją (opisującą skalarne (lub pseudoskalarne) cząstki o zerowym spinie) równania Schrödingera.

Równanie to można zapisać w formie zbliżonej do równania Schrödingera:

$-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi = c^2 \left( -\hbar^2\Delta + m_0^2 c^2 \right) \psi$ .

Częściej jednak spotyka się zapis:

$\left(\Delta -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{m_0^2 c^2}{\hbar^2}\right)\psi(\vec{r},t) = 0$ .

W zapisie relatywistycznym równanie to przybiera postać:

$\left( \Box - \frac{m_0^2c^2}{\hbar^2} \right) \psi = 0$

gdzie $\Box=-g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$ . Najprostszym rozwiązaniem równaniem Kleina-Gordona jest fala płaska $\psi \sim e^{ik^j x^j-i\omega_k t}$ dająca relatywistyczną zależność energii $\epsilon_k =\hbar \omega_k$ od pędu $p^i=\hbar k^i$

$\epsilon_k = \pm c \sqrt{\vec{p}^2 +m_0^2 c^2}.$

Równanie to jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia,opisuje cząstkę o spinie $s = 0$ . Równania Diraca daje się wyprowadzić jako konsekwencja równania Kleina-Gordona dla cząstki o spinie $s=\frac{1}{2}$ . Rozwiązanie z ujemną energią dla równania Kleina-Gordona nie ma bezpośredniego sensu fizycznego. Jest to spowodowane błędnym założeniem, że relatywistyczne równania falowe mogą opisywać dynamikę relatywistycznych cząstek. Jedynym możliwym sposobem uniknięcia tych problemów jest przyjęcie, że relatywistyczne równania falowe opisują dynamikę pól kwantowych i tym samym wszystkie relatywistyczne teorie kwantowe można zrozumieć jedynie na poziomie kwantowej teorii pola.