Twierdzenie Cayleya
Z Wikipedii
Twierdzenie Cayleya – twierdzenie teorii grup autorstwa Arthura Cayleya pozwalające na rozpatrywanie dowolnej grupy jako podgrupy grupy permutacji, dowolne twierdzenie prawdziwe dla tych ostatnich będzie prawdziwe w każdej innej grupie.
Spis treści |
[edytuj] Treść
Każda grupa G jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy ΣG (gdzie ΣG oznacza grupę bijekcji zbioru G). W szczególności, każda grupa G rzędu n jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy Σn.
[edytuj] Dowód
Dla dowolnej grupy 
i dowolnego elementu 
, niech odwzorowanie 
będzie zadane wzorem 
. Funkcja ψg jest bijekcją zbioru elementów. Przekształcenie 
jest monomorfizmem grup:
,
zatem 
.
[edytuj] Interpretacja
Pierwsza część twierdzenia Cayleya mówi po prostu, że dana grupa jest jedną z wielu grup, które mogą powstać z elementów tej grupy i będą się one różnić od rozważanej grupy jedynie uporządkowaniem. Druga część stwierdza oczywisty fakt, iż jeżeli grupa ma n elementów, to jest ona jednym z możliwych uporządkowań dowolnej grupy n-elementowej. Wszystkich możliwych uporządkowań elementów grupy jest dokładnie tyle, ile bijekcji tego zbioru: dla grupy rzędu n jest ich n!.
[edytuj] Bibliografia
- A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
