Morfizmy grup

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Homomorfizm
2 Monomorfizm
3 Epimorfizm
4 Izomorfizm
- 4.1 Izomorficzność
5 Endomorfizm
6 Automorfizm
7 Przykłady
8 Zobacz też

Morfizmy grup – w teorii grup przekształcenie grupy zachowujące strukturę grupy.

[edytuj] Homomorfizm

Zobacz też: homomorfizm.

Niech $(G, \cdot, e_G)$ oraz $(H, \circ, e_H)$ będą grupami. Przekształcenie $f: G \to H$ nazywa się homomorfizmem grupy $G$ w grupę $H$ , jeżeli

$\forall_{x, y \in G}\; f(x \cdot y) = f(x) \circ f(y)$ .

Homomorfizm grupy abelowej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterem grupy.

[edytuj] Własności

Homomorfizm zawsze przesyła element neutralny jednej grupy na element neutralny drugiej: $f (e G) = e H$ .

[edytuj] Jądro

Jądrem homomorfizmu $f$ nazywa się zbiór wszystkich elementów grupy $G$ przekształcanych za pomocą tego odwzorowania w element neutralny grupy $H$ :

$\ker f = \{x \in G: f(x) = e_H\}$ .

Jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną (a nawet charakterystyczną) grupy $G$ , dlatego zawsze zawiera element neutralny tej grupy. Wiele ważnych podgrup służących do badania struktury grupy jest jądrami pewnych homomorfizmów (twierdzienie o homomorfizmie), np. centralizator i normalizator są jądrami pewnych działań grupy na zbiorze swoich elementów (wspomniane działania również są homomorfizmami).

[edytuj] Obraz

Obraz homomorfizmu $f$ to zbiór wszystkich elementów grupy $H$ , które są obrazami dowolnego elementu grupy $G$ :

$\operatorname{im } f \equiv f(G) = \{y \in H: \exists_{x \in G}\; f(x)=y\}$

Obraz homomorfizmu jest podgrupą grupy $H$ .

[edytuj] Homomorfizm kanoniczny

Zobacz więcej w osobnym artykule: grupa ilorazowa.

[edytuj] Monomorfizm

Zobacz też: monomorfizm.

Monomorfizmem nazywa się homomorfizm różnowartościowy. Homomorfizm mający trywialne jądro, czyli $\ker f = \mathfrak 1$ jest monomorfizmem.

[edytuj] Epimorfizm

Zobacz też: epimorfizm.

Epimorfizm to homomorfizm "na", czyli $\forall_{y \in H}\ \exists_{x \in G}\; f(x) = y \iff f(G) = H$ .

[edytuj] Izomorfizm

Zobacz też: izomorfizm.

Izomorfizm to wzajemnie jednoznaczny homomorfizm lub równoważnie: homomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem i monomorfizmem.

Oczywiście homomorfizm odwrotny $f - 1$ do izomorfizmu $f$ również jest również izomorfizmem.

[edytuj] Izomorficzność

Grupę $G$ nazywamy izomorficzną z $H$ , co zapisujemy $G \simeq H$ , jeśli istnieje izomorfizm $G \to H$ między tymi dwoma grupami. Wyróżnia się też tzw. G-izomorficzność zbiorów, która zachodzi, jeśli grupa $G$ działa w taki sam sposób na obu tych zbiorach.

[edytuj] Endomorfizm

Zobacz też: endomorfizm.

Endomorfizm to homomorfizm grupy w siebie, każdy izomorfizm oraz automorfizm jest endomorfizmem.

[edytuj] Automorfizm

Zobacz też: automorfizm.

Automorfizmem nazywa się endomorfizm będący zarazem izomorfizmem, czyli wzajemnie jednoznaczny homomorfizm grupy na siebie.

[edytuj] Przykłady

Niech $(\mathbb R, \cdot, 1)$ będzie grupą liczb rzeczywistych różnych od zera z działaniem mnożenia.

Odwzorowanie $|\cdot|: \mathbb R \to \mathbb R$ przypisujące każdej liczbie tego zbioru przypisuje jej wartość bezwzględną jest homomorfizmem (a nawet endomorfizmem).
Odwzorowanie $x \mapsto x^2$ również jest homomorfizmem grupy $\mathbb R$ w siebie.
Jądrem homomorfizmów z powyższych przykładów jest zbiór ${ - 1,1}$ .