Twierdzenie Sturma
Z Wikipedii
W matematyce twierdzenie Sturma pozwala ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w danym przedziale.
Spis treści |
[edytuj] Ciągi Sturma
Wpierw należy skonstruować ciąg Sturma:
Jest to ciąg reszt uzyskiwanych podczas dzielenia w algorytmie Euklidesa dla wielomianów X oraz jego pochodnej X1(x) = X' branych ze znakiem przeciwnym:
gdzie rem(X,Y) oznacza resztę z dzielenia wielomianu X przez Y.
Każdy wielomian Xi ma stopień co najmiej równy jeden, dlatego też algorytm musi się zakończyć w skończonej liczbie kroków.
Xr wówczas jest równe NWD wielomianu X oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, będzie to stała.
Ciągiem Sturma jest wówczas ciąg
- .
[edytuj] Twierdzenie Sturma
Niech w(ξ) będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:
Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a < b które nie są pierwiastkami wielomianu X liczba pierwiastków wielomianu w przedziale [a,b] wynosi w(a) − w(b).
[edytuj] Zastosowania
Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę M, że wszystkie pierwiastki wielomianu X leżą w przedziale [ − M,M]; za taką liczbę można wziąć np.
- .