Twierdzenie transportu Reynoldsa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przepływ przez objętość kontrolną

Twierdzenie transportu Reynoldsa – jedno z kluczowych twierdzeń w dynamice płynów. Umożliwia sformułowanie podstawowych praw wykorzystywanych w dynamice płynów - równania zachowania masy, drugiej zasady dynamiki Newtona oraz praw termodynamiki.

Sens twierdzenia transportu Reynoldsa można wyjaśnić zakładając układ w skład którego wchodzi objętość kontrolna CV (patrz rysunek obok) oraz powierzchnia kontrolną CS, przez którą przepływa płyn. Twierdzenie Reynoldsa stwierdza, że:

Szybkość zmian ekstensywnej wartości B w układzie jest równa szybkości zmian ilości tej wartości w objętości kontrolnej oraz zmianie szybkości przepływu tej wartości przez powierzchnię kontrolną

Przykładem wartości ekstensywnej występującej w równaniu może być masa. Prawo zachowania masy stwierdza, że szybkość przyrostu (bądź spadku) masy jest równa akulumacji masy w objętości kontrolnej oraz różnicy prędkość przepływu przez powierzchnię kontrolną.

Twierdzenie to można zapisać matematycznie w postaci rówania:

$\frac{(dB)}{dt} = \frac{d}{dt}\int\limits_{CV}^{}b\rho d\upsilon + \int\limits_{CS}^{}b \rho (V \cdot n)dA$

lub

$\frac{(dB)}{dt} = \int\limits_{CV}^{}\frac{\partial}{\partial t}b\rho d\upsilon + \int\limits_{CS}^{}b \rho (V \cdot n)dA$

gdzie:

B - wartość ekstensywna
b - wartość intensywna
$ρ$ - gęstość
$υ$ - objętość
V - prędkość przepływu
n - wektor jednostkowy normalny powierzchni kontrolnej

Postać różniczkowa tego równania z dodatkowymi założeniami nosi nazwę równania Naviera-Stokesa.

[edytuj] Zastosowanie w inżynierii

Stała objętość kontrolna

Ponieważ twierdzenie Reynoldsa odgrywa kluczową rolę w dynamice płynów, znajduje szerokie zastosowanie w inżynierii chemicznej oraz innych gałęziach inżynierii, w których spotkać można zagadnienia związane z przepływami płynów. Jeżeli przyjmie się pewne założenia równanie można przekształcać i upraszczać do postaci, które można łatwo wykorzystać.

Przykładem może być bilans masy. Za wartość ekstensywną przyjmijmy masę (B = m):

$b = \frac{dB}{dm} = \frac{dm}{dm} = 1$

Otrzymujemy:

$\frac{(dB)}{dt} = \frac{d}{dt}\int\limits_{CV}^{}\rho d\upsilon + \int\limits_{CS}^{} \rho (V \cdot n)dA$

zakładając przepływ ustalony (dm/dt = 0) otrzymujemy:

$0 = \frac{d}{dt}\int\limits_{CV}^{}\rho d\upsilon + \int\limits_{CS}^{} \rho (V \cdot n)dA$

jeżeli założymy, że gęstość jest stała ( $\partial \rho$ / $\partial t = 0$ ) równanie przybierze postać:

$0 = \int\limits_{CS}^{} \rho (V \cdot n)dA$

zakładamy przepływ jest jednokierunkowy:

$0 = \int\limits_{CS}^{} \rho V dA$

co można zapisać:

$\sum_{i}^{} \left( \rho_i \cdot V_i \cdot A_i \right)= 0$ lub $\sum_{i}^{} \dot{m}_i = 0$

gdzie $\dot{m}$ przepływ masowy wyrażony w jednostce masy na jednostkę czasu.

Dla przypadku przedstawionego na rysunku obok równanie to przybierze prostą postać:

$\rho_3 \cdot V_3 \cdot A_3 = \rho_1 \cdot V_1 \cdot A_1 + \rho_2 \cdot V_2 \cdot A_2$

Jeżeli $ρ = i d e m$

$V_3 \cdot A_3 = V_1 \cdot A_1 + V_2 \cdot A_2$ (równanie ciągłości strugi)

[edytuj] Zachowanie masy

Przyjmując za wartość ekstensywną masę równanie przybiera postać:

$0 = \frac{d}{dt}\int\limits_{CV}^{}\rho d\upsilon + \int\limits_{CS}^{} \rho (V \cdot n)dA$

[edytuj] Zachowanie energii

Jeżeli za wartość ekstensywną przyjmiemy energię to równanie przyjmie postać:

$E = \dot{Q}-\sum{} \dot{W} = \frac{d}{dt} \int\limits_{CV}^{}e \cdot \rho d \upsilon + \int\limits_{CS}^{}e \cdot \rho (V \cdot n)dA$

Jeżeli uwzględnimy wszystkie rodzaje energii (kinetyczną, wewnętrzną, potencjalną i inne) i podstawimy te wyrażenia za e otrzymamy postać równania:

$E = \dot{Q}-\sum{} \dot{W} = \frac{d}{dt} \int\limits_{CV}^{} \rho \left( \frac{V^2}{2}+ gz + \tilde{u} \right) d \upsilon + \int\limits_{CS}^{}\left( \frac{V^2}{2}+ gz + \tilde{u} \right) \rho (V \cdot n)dA$

gdzie Q to ilość ciepła oddana do układu, W natomiast to praca wykonana przez układ.

[edytuj] Zachowanie pędu

W przypadku gdy za wartość ekstensywną przyjmiemy pęd wartość b (intensywna) staje się prędkością, natomiast lewa strona równania (zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona) przyjmuje wartość siły. Równanie można zapisać jako:

$\frac{d}{dt}(mV) = \sum_{i}^{}F_i = \frac{d}{dt}\int\limits_{CV}^{}V\rho d\upsilon + \int\limits_{CS}^{}V \rho (V \cdot n)dA$