Classe de equivalência
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Em matemática, dado um conjunto X com uma relação de equivalência ~, a classe de equivalência de um elemento x ∈ X é o subconjunto de todos os elementos de X que são equivalentes a x:
![[x] = \{ x \in X\quad |\quad x \sim a \}](../../../math/c/5/4/c5454b2600f9936aa620868c6ad5d14b.png)
Alguns relações importantes seguem desta definição:
- Se
![x \sim y \Rightarrow [x] = [y]](../../../math/4/4/6/4465978c187ba4beb46eb32e8511087f.png)
- Classes de equivalência diferentes não tem elementos em comum: Se
![[x] \ne [y]](../../../math/5/a/6/5a6d17acd8d7632faf4e9e6bb0c0fdb2.png)
então ![[x] \cap [y] = \varnothing](../../../math/4/9/8/4982f0ad0ef04caa177a3b518832906a.png)
- A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: X =
[x].
Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X:
![X/\sim = \{ [x]\quad | \quad x \in X \}](../../../math/9/f/c/9fc4ca3138ad130bf9c5f111c70ede1e.png)
Note que, como para cada elemento 
podemos associar um elemento de ![[x] \in X/\sim](../../../math/0/8/e/08ef5467d228950e25ca629f0b3b4da4.png)
, existe uma função natural de 
. Esta função é chamada de projeção canônica.
[editar] Representantes
Uma pergunta óbvia é:
- Em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?
A resposta, paradoxalmente, não é trivial. Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em ![\left[ 0 , 1 \right] \in \R\,](../../../math/7/5/2/7524813e809db2c1ec5cf91029356c66.png)
definida por 
, e tenta pegar um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.
Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:
- Seja
uma relação de equivalência em um conjunto X. Então existe um conjunto 
que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.
