Função holomorfa
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Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano de número complexo C com valores em C que são diferenciáveis em cada ponto. Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa", entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto a" significa não só diferenciável em a, mas diferenciável em algum disco aberto centrado em a, no plano complexo.
[editar] Definição
Se U é um subconjunto aberto de C e f : U → C é uma função, dizemos que f é diferenciável complexa ou C-diferenciável no ponto z0 de U se o limite
existir.
Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de z0, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número f '(z0). Intuitivamente, se f é diferenciável complexa em z0 e nas proximidades ao ponto z0 da direção r, então as imagens se aproximarão ao ponto f(z0) a partir da direção f '(z0) r, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente e da cadeia.
Se f é complexa diferenciável em cada ponto z0 em U, dizemos que f é holomorfa em U.
[editar] Veja também
- Função antiholomorfa
