Produto cartesiano

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Na Matemática, dados dois conjuntos X e Y, o produto cartesiano (ou produto direto) dos dois conjuntos (escrito como X × Y) é o conjunto de todos os pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a X e o segundo, a Y.

$X\times Y = \{(x,y) \mid x\in X\;\wedge\;y\in Y\}.$

O produto cartesiano recebe seu nome de René Descartes, cuja formulação da geometria analítica deu origem a este conceito.

Por exemplo, se o conjunto X é o dos treze elementos da baralha inglesa

X = {A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2}

e o Y é o dos quatro paus:

Y = {♠, ♥, ♦, ♣}

então o produto cartesiano desses dois conjuntos será o conjunto com as 52 cartas da baralha:

X × Y = {(A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣)}.

Outro exemplo é o plano bidimensional R × R, onde R é o conjunto de números reais e os pares ordenados têm a forma de (x,y), onde x e y são números reais (veja o sistema de coordenadas cartesiano). Subconjuntos do produto cartesiano são chamados de relações binárias, e funções, um dos conceitos mais importantes da matemática, são definidas como tipos especiais de relações.

[editar] Cardinal

O cardinal do produto cartesiano de dois conjuntos é o produto dos cardinais dos conjuntos individuais:

$|X \times Y| = |X| \cdot |Y|$

[editar] Generalização

O produto cartesiano pode ser generalizado para mais de dois conjuntos:

X₁ × ... × X_n = { (x₁,... ,x_n) | x₁ pertence a X₁ e ... e x_n pertence a X_n }

ou intuitivamente (X₁ × ... × X_n-1) × X_n.

Um exemplo é o seguinte. Seja o conjunto L com três elementos:

{1, 2, 3}

o conjunto M com dois elementos:

{a,b},

e o conjunto N com 2 elementos:

{$, %},

o produto cartesiano L × M × N é:

{(1 ,a, $), (1 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (3 ,a ,$), (3 ,a ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%)}

Um outro exemplo disso é o espaço euclidiano de três dimensões $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ .

[editar] Notação potencial

Para expressar o produto cartesiano dum conjunto por si mesmo está permitida a notação potencial:

$\begin{matrix} & \underbrace{ X \times X \times \cdots \times X } & = X^n \\ & n \mathrm{vezes} \end{matrix}$

Assim, o mencionado espaço euclidiano tridimensional pode-se representar como $\mathbb{R}^3$ .

[editar] Produto infinito

A observação de que a estrutura do produto cartesiano $X^n\,$ tem uma estrutura semelhante ao conjunto das funções de domínio {1, 2, ..., n} e imagem X sugere que o produto cartesiano possa ser generalizado para infinitas parcelas, como um conjunto de funções.

Seja $\Lambda\,$ um conjunto (não-vazio), chamado de conjunto de índices. Seja $X_{\lambda}\,$ um conjunto definido para cada índice $\lambda \in \Lambda\,$ (eles podem ser iguais ou não). Então o produto destes conjuntos é definido por:

$\prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} = \{ f : \Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \ , \ f(a) \in X_a \} \,$

[editar] Exemplo

Seja $\Lambda = \mathbb{N^\star}\,$ , ou seja, estamos indexando pelos números naturais (sem o zero). Seja $X_i = \{ 1, 2, \ldots, i \} \,$ . Então $\prod X_i\,$ é o conjunto das sequências de números naturais em que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3, etc.

[editar] Projeção canônica

As funções mais importantes que tem como domínio um produto cartesiano são as projeções canônicas.

No caso finito, a i-ésima projeção canônica é a função que retorna a i-ésima coordenada.

Ou seja:

$\pi_i(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) = x_i\,$

No caso infinito, como cada elemento de $\Pi_{\lambda} X_{\lambda}\,$ é uma função, temos que:

$\pi_{\lambda}(f) = f(\lambda)\,$

[editar] Exemplos

Em $\mathbb{R}^2\,$ , as duas projeções canônicas são:

$\pi_1(x, y) = x\,$

$\pi_2(x, y) = y\,$

No conjunto das seqüências de números reais, que pode ser visto como o produto $\Pi_{i \in \mathbb{N^{\star}}} \mathbb{R}\,$ , a i-ésima projeção canônica é a função que retorna o i-ésimo elemento. Por exemplo:

$\pi_{10} (2, 4, 8, 16, \ldots) = 1024\,$

[editar] Produtos de Estruturas Matemáticas

Várias estruturas matemáticas são mantidas, de uma forma natural (canônica) ao se passar para os produtos cartesianos. Por exemplo:

o produto cartesiano de grupos é um grupo.
o produto cartesiano de espaços vetoriais sobre o mesmo corpo é um espaço vetorial.
o produto cartesiano de topologias é uma topologia, a topologia produto.

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../p/r/o/Produto_cartesiano.html"

Categoria: Teoria dos conjuntos