Sólidos Platónicos

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Na geometria e algumas antigas teorias físicas, um solido platónico é um poliedro convexo com:

Todas as faces são polígonos congruentes
O mesmo número de faces encontra-se em todos os vértices

Os cinco sólidos platónicos, são conhecidos desde a antiguidade clássica, e a prova que são os únicos poliedros regulares pode ser encontrada nos Elementos de Euclides.

Índice

1 Tabela
2 Relação de Euler em poliedros regulares
3 Operações sobre Sólidos Platónicos
4 Poliedros platónicos inscritos
5 Propriedades métricas dos sólidos platónicos

[editar] Tabela

Nome	Faces	Arestas	Vértices	Vértices por face	Encontros de faces em cada vértice	Configuração vértices	Grupo de Simetria
tetraedro	4	6	4	3	3	3.3.3	T_d
cubo (hexaedro)	6	12	8	4	3	4.4.4	O_h
octaedro	8	12	6	3	4	3.3.3.3	O_h
dodecaedro	12	30	20	5	3	5.5.5	I_h
icosaedro	20	30	12	3	5	3.3.3.3.3	I_h

[editar] Relação de Euler em poliedros regulares

Como em todos os sólidos convexos, nos sólidos platónicos também se cumpre a relação:

F + V – A = 2

onde: V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.

[editar] Operações sobre Sólidos Platónicos

[editar] Poliedros duais

Dual tetraedro

O Poliedro dual de um Sólido Platónico é outro Sólido Platónico.

O dual do tetraedro é um tetraedro.
O dual do octaedro é um cubo, e vice versa.
O dual do dodecaedro é um icosaedro, e vice versa.

[editar] Truncatura

Truncando sólidos platónicos obtem-se onze dos treze Sólidos de Arquimedes:

O Tetraedro truncado, o Cuboctaedro, o Cubo truncado, o Octaedro truncado, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro truncado, o Icosidodecaedro, o Dodecaedro truncado, o Icosaedro truncado, o Rombicosidodecaedro e o Icosidodecaedro truncado.

[editar] Snubificação

Por snubificação de sólidos platónicos são obtidos dois Sólidos de Arquimedes:

O Cubo snub e o Dodecaedro snub.

[editar] Poliedros platónicos inscritos

Quando um sólido platónico é inscrito numa esfera, ocupa a seguinte percentagem do volume da esfera:

Tetraedro: 12.2518%
Cubo: 36.7553%
Octaedro: 31.8310%
Dodecaedro: 66.4909%
Icosaedro: 60.5461%

[editar] Propriedades métricas dos sólidos platónicos

A tabela seguinte agrupa algumas das principais propriedades métricas dos sólidos platónicos.
Seja d a medida da aresta de um poliedro; podemos calcular em função de d os raios r, R, ρ, respectivamente da esfera inscrita, circunscrita e tangente à aresta. Também a área S da superfície e o volume V. Das fórmulas da tabela podemos deduzir as inversas.

Nome	r	R	ρ	S	V
Tetraedro	$\frac{\sqrt{6}}{12}d$	$\frac{\sqrt{6}}{4}d$	$\frac{\sqrt{2}}{4}d$	$\sqrt{3}d^2$	$\frac{\sqrt{2}}{12}d^3$
Cubo ou Hexaedro	$\frac{1}{2}d$	$\frac{\sqrt{3}}{2}d$	$\frac{\sqrt{2}}{2}d$	$6 d 2$	$d 3$
Octaedro	$\frac{\sqrt{6}}{6}d$	$\frac{\sqrt{2}}{2}d$	$\frac{1}{2}d$	$2\sqrt{3}d^2$	$\frac{\sqrt{2}}{3}d^3$
Dodecaedro	$\frac{1}{20}\sqrt{(10(25+11\sqrt{5})}d$	$\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5}) d$	$\frac{1}{4}(3+\sqrt{5})d$	$3\sqrt{25+10\sqrt{5}}d^2$	$\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})d^3$
Icosaedro	$\frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})d$	$\frac{1}{4}\sqrt{(10+2\sqrt{5})}d$	$\frac{1}{4}(1+\sqrt{5})d$	$5\sqrt{3}d^2$	$\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})d^3$