Platonisk legeme

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Du har nye beskeder (forskel fra næstsidste redigering).

Et platonisk legeme er et konvekst polyeder hvor samtlige sideflader udgøres af kongruente regulære polygoner, og sådan at det samme antal sideflader mødes ved hvert hjørne. Sammenlign med Kepler-Poinsot legemerne, som ikke er konvekse, og de archimediske og johnson legemer, som ikke selv er regulære, selv om de er lavet af regulære polygoner.

Der er fem platoniske legemer, som alle var kendt af oldgrækerne:

Navn og billede	Fladepolygon	Antal sideflader, F	Antal kanter, K	Antal hjørner, H	Type af hjørne	Symmetrigruppe
tetraeder (Animation)	trekant	4	6	4	3	T_d
terning (heksaeder) (Animation)	kvadrat	6	12	8	3	O_h
oktaeder (Animation)	trekant	8	12	6	4	O_h
dodekaeder (Animation)	femkant	12	30	20	3	I_h
ikosaeder (Animation)	trekant	20	30	12	5	I_h

Navnene på legemerne kommer fra det græske ord for antallet F af flader. Bemærk i øvrigt at hvert legeme opfylder H-K+F=2 i overensstemmelse med Eulers polyedersætning.

[redigér] Begrænset antal platoniske polyedre

Det er let at vise, at der kun er fem sådanne tredimensionale legemer. For at danne et hjørne, må mindst tre af sidefladerne mødes i et punkt, og den totale sum af sidefladernes hjørner må være mindre end 360 grader, dvs. hjørnene af sidefladen må være mindre end 120 grader. De eneste polygoner der møder disse begrænsninger er trekanten, kvadratet og femkanten.

Triangulære sideflader: hvert hjørne af et trekant er 60 grader, derfor bør en form være muligt med 3, 4 eller 5 trekanter der mødes i hvert hjørne; disse er tetraedret, oktaedret og ikosaedret.
Kvadratiske sideflader: hvert hjørne af en kvadrat er 90 grader, derfor er der kun en mulig ordning mulig, med tre sideflader ved et hjørne, dvs. terningen.
Femkantede sideflader: hvert hjørne er 108 grader, og igen er der kun en mulig ordning med tre sideflader ved et hjørne: dodekaedret, og dette udtømmer listen af regulære, tredimensionelle legemer.

[redigér] Duale polyedre

Bemærk, at hvis man forbinder midtpunkterne af sidefladerne på en tetraeder, får man et andet tetraeder. Hvis man forbinder midtpunkterne af sidefladerne på et oktaeder, får man en terning, og omvendt. Hvis man forbinder midtpunkterne på et dodekaeder, får man et ikosaeder, og omvendt. Disse par siges at være duale polyedre.

[redigér] Oprindelsen til navnet

De platoniske legemer er navngivet efter Platon, som beskrev dem i Timæus. Platon lærte om disse legemer fra sin ven Theætetus. Konstruktionerne af disse legemer er inkluderet i Bog XIIII af Euklids Elementer. Påstand 13 beskriver konstruktionen af tetraederet, påstand 14 beskriver oktaederet, påstand 15 terningen, påstand 16 ikosaederet, og påstand 17 dodekaederet.

[redigér] Oldgammel formalisme

Platon forstillede sig de fire klassiske elementer (luft, vand, jord og ild) som atomer for de geometriske former på fire af de fem platoniske legemer, som var opdaget af pythagoræerne (refereret i dialogen i Timæus). Disse er naturligvis ikke atomernes sande former, men det viser sig, at de danner nogle af de sande former for pakkede atomer og molekyler, nemlig krystaller: Mineralet salt natriumklorid findes i kubiske krystaller; fluorid (kalciumfluorid) findes i oktaedre; og pyrit i dodekaedre (se brug nedenfor).

Dette begreb forbandt ild med tetraedret, jord med terningen, luft med oktaedret og vand med ikosaedret.

Om det femte platoniske legeme, dodekaedret, bemærker Platon dunkelt, "...guden brugt til at arrangere konstellationerne på hele himlen" (Timæus 55). Han vidste ellers ikke, hvad han skulle med det. Aristoteles tilføjede et femte element, aithêr (æther på latin, "æter" på dansk), og foreslog at himlene var lavet af dette element, men han havde ingen interesse i at kombinere det med Platons ubrugte, femte element.

[redigér] Anden symbolisme

Historisk set fulgte Johannes Kepler Renaissancevanen med at lave matematiske korrespondancer, (baseret på idéer i henhold til sfærernes musik osv.) og identificerede de fem platoniske legemer med de fem planeter - Merkur, Venus, Mars, Jupiter, Saturn. Derved genoplivede han sammenligningen med de fem klassiske elementer. (Jorden, månen og solen blev ikke betragtet som planeter.)

[redigér] Indskrevne platoniske polyedre

Når de platoniske polyedre er indskrevet i en kugleflade, fylder de de følgende procentdel af denne kugles volumen:

Tetraeder: 12,2518%
Terning: 36,7553%
Octaeder: 31,8310%
Dodekaeder: 66,4909%
Ikosaeder: 60,5461%

Stik mod den almindelige forventning fylder dodekaedret påfaldende nok mere af kuglens rumfang end det tilsyneladende mere kuglerunde ikosaeder.

[redigér] Brug

Formene er tit brugt til at lave terninger til spil, da terninger ved disse former kan laves retfærdige. Terninger med 6-flader er meget almindelige (derfor navnet "terning" for ikke-terningeformede terninger), og de andre legemer bruges tit i rollespil. Sådanne terninger betegnes tit som D (af engelsk: die = terning), fulgt af antallet af sideflader (d4, d8, osv.)

Tetraedret, terningen og oktaedret findes naturligt i krystalstrukturer. Dodekaedret er kombinatorisk identisk med pyritoedret (sådan at begge har tolv femkantede sideflader), som er en af de mulige krystalstrukture for pyrit. Pyritoedret er dog ikke et regulært dodekaeder, men har i stedet samme symmetri som terningen.