Teorema do ponto fixo de Banach
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.
Índice |
[editar] Enunciado
Seja 
um espaço métrico completo não vazio com uma métrica 
.
Uma aplicação 
é dita uma contração uniforme, se existir uma constante 
tal que:
O teorema estabelece que existe um único ponto fixo 
, ou seja:
[editar] Demonstração da unicidade
Sejam 
e 
pontos fixos de 
, então:
o que implica 
, ou seja, 
.
[editar] Demonstração da existência
Escolha um ponto qualquer 
e contrua a seqüência:
Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:
Agora usando a definição de contração temos:
De forma que:
Assim a 
é uma sucessão de Cauchy e convege para algum ponto 
Devemos mostrar que 
é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:
Passando ao limite, usando a continuidade de f (o que segue da própria definição de contração), temos:
E o resultado segue.
