Teste de Abel
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Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:
onde as duas propriedades são verificadas:
para todo N > 0
[editar] Exemplo
Considere a série:
Defina 
e 
É claro que an é descrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:
a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.
[editar] Demonstração
Defina:
Escreva para k > 0:
Trocando índices temos:
Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que | bn − bn + 1 | = bn − bn + 1 pela monotocidade.
Da primeira hipótese, 
, e assim:
A soma telescópica pode ser simplificada:
Como 
, escolha N > 0 tal que:
Conclui-se que:
E portanto Sn é uma sucessão de Cauchy e portanto convergente, o que completa a demonstração.
