Série (matemática)

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Em matemática, o conceito de série, ou ainda, série infinita, surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma seqüencia infinita de termos.

Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas difuldades:

Nem sempre é possível definir uma soma para uma série;
não é possivel em geral trocar a ordem dos termos da série;
algumas séries possuem soma infinita.

[editar] Um primeiro exemplo

Considere a dízima periódica que resulta da divisão de 1 por 3:

$\frac{1}{3}= 0,3333\ldots$

Esta dízima pode ser reintepretada como a soma da série:

$0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+\ldots$

E neste caso, dizemos que a soma desta série é $\frac{1}{3}$

[editar] Notação

Se denotarmos por $a_1, a_2, a_3,\ldots,a_n,\ldots$ os termos da seqüência que desejamos somar. A soma $S$ da série é donotada por:

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,$

No exemplo anterior, temos $a_n=3\cdot 10^{-n}$ , que forma uma progressão geométrica de razão $10 - 1$ .

Chamamos de soma parcial até o termo N, $S N$ a soma dos N primeiros termos de uma série:

$S_N=\sum_{n=1}^N a_n = a_1+a_2+\ldots+a_N$

[editar] Definição

Defini-se a soma $S$ de uma série infinita, o limite das somas parciais quando este limite existe:

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N a_n =\lim_{N\to\infty}S_N$

Quando este limite existe, definímos ainda o resíduo de ordem n da série, pela seguinte série:

$R_N=\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n$

Esta definição nos permite escrever:

$S=S_N+R_N\,$ para todo $N\ge 1$

A soma parcial pode, portanto, ser interpretada como uma aproximação para a soma da série, enquando que o resíduo é o erro desta aproximação.

É claro que:

$\lim_{N\to\infty}R_N = \lim_{N\to\infty}(S-S_N)=S-S=0$

[editar] Aspectos históricos

A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos à respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.

O matemático e astrônomo Madhava foi o primeiro, no século 14, a considerar tais séries. Seus trabalhos receberam continuidade por seus sucessores da escola de Kerala, região ao sul da Índia e foram registrados no livro Yuktibhasa. Madhava se dedica ao estudo das funções trigonométricas, propondo-lhe desenvolvimento em séries de Taylor e em séries trigonométrica. Ele utiliza esses conceitos para o cálcula de aproximações (notavelmente para estimar o valor numérico da constante $π$ ) e estabelece estimativas para o erro assumido. Também introduz os primeiros critérios de convergência.

No século 17, James Gregory redescobre vários desses resultados, em especial o desenvolvimento de séries trigonométricas em séries de Taylor e sua série que permita calcular o valor númérico de $π$ . Em 1715, Brook Taylor, ao publicar a construção geral das séries que recebem seu nome, estabele uma frutuosa ligação da teoria de séries infinitas com o cálculo diferencial.

No século 18, Leonhard Euler estabelece numerosas relações sobre séries, calcula diversas somas notáveis e introduz o conceito de série hipergeométrica.

A teoria das séries infinitas se estabelece finalmente com o advento da análise matemática ao longo dos séculos 18 e 19 com os trabalhos sobretudo de Augustin Louis Cauchy.

[editar] Classificação quanto à convergência

As seguintes classes se aplicam a series numéricas:

Série convergente: existe o limite $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ e é finito.
Série divergente: existe o limite $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ e é infinito.
Série oscilante: não existe o limite $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ .
Série absolutamente convergente: existe o limite $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ e é finito.
Série condicionalmente convergente: série convergente porém não é absolutamente convergente.

Obs.: Toda série absolutamente convergente é convergente.

[editar] Exemplos selecionados

[editar] Série geométrica

Ver artigo principal: Série geométrica.

A série geométrica formada pelos termos de uma progressão geométrica:

$\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}$

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

$\sum_{n=1}^{N}r^{n} = \frac{r-r^{N+1}}{1-r} = \frac{r}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}$

É facil ver que se $| r | < 1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

$\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}$

ou, como é mais usual:

$\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}$

[editar] Série harmônica

Ver artigo principal: Série harmônica.

A série harmônica formada pelos termos de uma progressão harmônica:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$

Esta série é divergente, o que pode ser provado com a seguinte astúcia:

$\frac{1}{n}=\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx > \int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx = \ln(n+1)-\ln(n)$

e substitua nas somas parciais:

$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\sum_{n=1}^N\left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)= \left(\ln(2)-\ln(1)\right)+ \left(\ln(3)-\ln(2)\right)+ \ldots+ \left(\ln(N+1)-\ln(N)\right)$

Simplificando os temos repetidos temos:

$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}>\ln(N+1)\to\infty,~~N\to\infty$

[editar] Série alternada

Chama-se série alternada toda a série da forma:

$a_n=Z (-1)^n a_n\, ~~a_n\ge 0$

Um exemplo de série alternada é:

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$ , que a despeito da série harmônica, convege.

Para verificar a convergência de séries alternadas, existe o teste da série alternada.

[editar] Série telescópica

Ver artigo principal: Série telescópica.

Chame-se série telescópica toda série cujos termos $a n$ possam ser escritos como: $a n = b n + 1 - b n$ , onde $b n$ é outra progressão numérica.

Um exemplo de série telescópica é

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$

Observe que aqui $a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=b_{n+1}-b_n$

É fácil ver que:

$S_N=\sum_{n=1}^N(b_{n+1}-b_n)=b_{N+1}-b_1$

e, portanto:

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ é convergente se e somente se $b_n\to 0$

[editar] Convergência de séries

Diversos são os teoremas para provar que determinada série numérica converge ou diverge, estes teoremas constumam ser chamados de testes, eis alguns exemplos:

[editar] Rearranjo de termos

Sejam os termos $a_n\,$ de uma série. Definimos um rearranjo dos termos uma nova seqüência com os mesmos termos $a_{\sigma(n)}\,$ onde $\sigma(n)\,$ é uma permutação.

Pode-se mostrar que se uma série converge absolutamente, então pode-se rearranjar os termos sem alterar a soma.
Se uma série é condionalmente convergente mas não absolutamente convergente, então cada cada soma pré-fixada $S\,$ , existe um rearranjo se termos tal que a soma da série rearranjanda é $S\,$ .